P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 40

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 40

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）4.41057来源精度区间：4.41057–4.41058（区间内视为追平）本站展示证书 4.410574419Erich Friedman 编录；40. Found by Thomas Schadt in July 2026. 原式：s = 4.41057+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

4.410574419

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源40. Found by Thomas Schadt

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.340091760",
      "y": "0.934549310"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.113363920",
      "y": "0.934549310"
    },
    {
      "turn": "0.262878457",
      "x": "0.791084123",
      "y": "0.933478247"
    },
    {
      "turn": "0.262878457",
      "x": "0.565883648",
      "y": "0.932939941"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.226727840",
      "y": "0.869098620"
    },
    {
      "turn": "-0.273032817",
      "x": "0.453121140",
      "y": "0.866412456"
    },
    {
      "turn": "-0.273032817",
      "x": "0.678622406",
      "y": "0.866418188"
    },
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      "turn": "0.577350269",
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    },
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      "turn": "0.000000000",
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      "y": "0.755734700"
    },
    {
      "turn": "0.262878457",
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      "y": "0.737126177"
    },
    {
      "turn": "0.262878457",
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    {
      "turn": "-0.273032817",
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      "turn": "-0.277099696",
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    },
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    },
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    },
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    },
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      "turn": "-0.273032817",
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    },
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      "turn": "-0.277560266",
      "x": "0.648513027",
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    },
    {
      "turn": "0.492106351",
      "x": "0.159722542",
      "y": "0.415642940"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
      "x": "0.383921601",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
      "x": "0.607863204",
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    },
    {
      "turn": "-0.066383257",
      "x": "0.079861271",
      "y": "0.311925301"
    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.272616084",
      "y": "0.271927419"
    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.494910144",
      "y": "0.272022902"
    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.720598837",
      "y": "0.271811367"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
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    {
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    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.889011457",
      "y": "0.069402554"
    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.666645702",
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    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.221977086",
      "y": "0.069402554"
    }
  ],
  "radius": "0.130901378"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 40,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.340091760",
      "y": "0.934549310"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
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      "turn": "0.262878457",
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    {
      "turn": "-0.267949192",
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    },
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      "turn": "-0.273032817",
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    },
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      "x": "0.282030080",
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    },
    {
      "turn": "0.262878457",
      "x": "0.508747745",
      "y": "0.734978176"
    },
    {
      "turn": "0.259396419",
      "x": "0.737986685",
      "y": "0.734210784"
    },
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    },
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    },
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      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.934549310",
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    },
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      "turn": "-0.273032817",
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      "x": "0.159722542",
      "y": "0.415642940"
    },
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      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.869098620",
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    },
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      "x": "0.383921601",
      "y": "0.341425456"
    },
    {
      "turn": "0.249158679",
      "x": "0.607863204",
      "y": "0.338419976"
    },
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      "turn": "-0.066383257",
      "x": "0.079861271",
      "y": "0.311925301"
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      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.494910144",
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    },
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      "x": "0.720598837",
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      "turn": "0.249158679",
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    {
      "turn": "0.249158679",
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    },
    {
      "turn": "0.249158679",
      "x": "0.333333333",
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    {
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      "turn": "-0.286917922",
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      "y": "0.069402554"
    },
    {
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      "x": "0.666645702",
      "y": "0.069442014"
    },
    {
      "turn": "-0.286917922",
      "x": "0.221977086",
      "y": "0.069402554"
    }
  ],
  "radius": "0.130901378"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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