P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 29

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 29

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）3.81711来源精度区间：3.81711–3.81712（区间内视为追平）本站展示证书 3.817113199Erich Friedman 编录；29. Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 3.81711+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

3.817113199

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源29. Found by Jake Loyd

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.250345188",
      "y": "0.924373441"
    },
    {
      "turn": "0.542850509",
      "x": "0.463733195",
      "y": "0.873161848"
    },
    {
      "turn": "-0.010932812",
      "x": "0.618876826",
      "y": "0.867388842"
    },
    {
      "turn": "0.562864621",
      "x": "0.921527702",
      "y": "0.870695691"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.075626559",
      "y": "0.813763777"
    },
    {
      "turn": "-0.026267222",
      "x": "0.381334231",
      "y": "0.746323696"
    },
    {
      "turn": "-0.010932812",
      "x": "0.843055405",
      "y": "0.741391381"
    },
    {
      "turn": "0.562864621",
      "x": "0.691621494",
      "y": "0.734777684"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.151253119",
      "y": "0.682774734"
    },
    {
      "turn": "0.562864621",
      "x": "0.462036286",
      "y": "0.613538524"
    },
    {
      "turn": "0.565324785",
      "x": "0.922010889",
      "y": "0.611658015"
    },
    {
      "turn": "-0.010932812",
      "x": "0.613149196",
      "y": "0.605473375"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.075626559",
      "y": "0.551785691"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.302506238",
      "y": "0.530097815"
    },
    {
      "turn": "-0.009066323",
      "x": "0.844021779",
      "y": "0.482061701"
    },
    {
      "turn": "0.562864621",
      "x": "0.692150726",
      "y": "0.476294457"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
      "x": "0.151253119",
      "y": "0.420796647"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.924373441",
      "y": "0.351072658"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.452526310",
      "y": "0.378132797"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.321537266",
      "y": "0.302506238"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.583515353",
      "y": "0.302506238"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.075626559",
      "y": "0.289807604"
    },
    {
      "turn": "0.062056907",
      "x": "0.789550705",
      "y": "0.236229974"
    },
    {
      "turn": "-0.431496614",
      "x": "0.896229548",
      "y": "0.110041807"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.262587119",
      "y": "0.151253119"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.524566011",
      "y": "0.151253119"
    },
    {
      "turn": "-0.267949194",
      "x": "0.130989056",
      "y": "0.076680480"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.393576567",
      "y": "0.075626559"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.655555539",
      "y": "0.075626559"
    }
  ],
  "radius": "0.151253117"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 29,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.250345188",
      "y": "0.924373441"
    },
    {
      "turn": "0.542850509",
      "x": "0.463733195",
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    },
    {
      "turn": "-0.010932812",
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    },
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      "turn": "0.000000000",
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    },
    {
      "turn": "-0.026267222",
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    },
    {
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      "turn": "0.562864621",
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    },
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    {
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    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.924373441",
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      "turn": "0.267949192",
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      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.321537266",
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    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.583515353",
      "y": "0.302506238"
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      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.075626559",
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    {
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    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.524566011",
      "y": "0.151253119"
    },
    {
      "turn": "-0.267949194",
      "x": "0.130989056",
      "y": "0.076680480"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.393576567",
      "y": "0.075626559"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.655555539",
      "y": "0.075626559"
    }
  ],
  "radius": "0.151253117"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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