P83 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入正方形 · n = 19

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 19

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）3.12929来源精度区间：3.12929–3.1293（区间内视为追平）本站展示证书 3.129293565Erich Friedman 编录；Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 3.12929+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

3.129293565

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源Jake Loyd

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.201097639",
      "y": "0.907750701"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.520658583",
      "y": "0.907750701"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.840219528",
      "y": "0.907750701"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.680439056",
      "y": "0.815501403"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.360878111",
      "y": "0.815501403"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092249299",
      "y": "0.679575408"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.907750701",
      "y": "0.655720931"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.446504208",
      "y": "0.631002806"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.184498597",
      "y": "0.519794936"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.815501403",
      "y": "0.495940458"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.631002806",
      "y": "0.446504208"
    },
    {
      "turn": "-0.217340668",
      "x": "0.384670128",
      "y": "0.374317902"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092249299",
      "y": "0.360014464"
    },
    {
      "turn": "0.577350269",
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    },
    {
      "turn": "0.319871574",
      "x": "0.329208990",
      "y": "0.183656595"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.666376391",
      "y": "0.184498597"
    },
    {
      "turn": "-0.241336316",
      "x": "0.154971996",
      "y": "0.100116996"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.506595919",
      "y": "0.092249299"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.826156863",
      "y": "0.092249299"
    }
  ],
  "radius": "0.184498596"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.201097639",
      "y": "0.907750701"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.520658583",
      "y": "0.907750701"
    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.840219528",
      "y": "0.907750701"
    },
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      "turn": "-0.267949192",
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    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
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      "y": "0.815501403"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092249299",
      "y": "0.679575408"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
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      "x": "0.446504208",
      "y": "0.631002806"
    },
    {
      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.184498597",
      "y": "0.519794936"
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    {
      "turn": "-0.000000000",
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      "turn": "-0.577350269",
      "x": "0.631002806",
      "y": "0.446504208"
    },
    {
      "turn": "-0.217340668",
      "x": "0.384670128",
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    },
    {
      "turn": "0.000000000",
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    },
    {
      "turn": "0.319871574",
      "x": "0.329208990",
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    },
    {
      "turn": "0.267949192",
      "x": "0.666376391",
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    },
    {
      "turn": "-0.241336316",
      "x": "0.154971996",
      "y": "0.100116996"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.506595919",
      "y": "0.092249299"
    },
    {
      "turn": "-0.267949192",
      "x": "0.826156863",
      "y": "0.092249299"
    }
  ],
  "radius": "0.184498596"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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