P86 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正五边形装入正方形 · n = 21

把 n 个边长为 1 的正五边形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 21

目标最小化容器正方形边长

已知最好（未证明）6.85368来源精度区间：6.85368–6.85369（区间内视为追平）本站展示证书 6.853686761Erich Friedman 编录；Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：s = 6.85368+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到单位正方形 [0,1]²；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/5) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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6.853686761

容器正方形边长

已追平已知最好

答案来源Jake Loyd

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.121500823",
      "y": "0.899588209"
    },
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.439695407",
      "y": "0.899588209"
    },
    {
      "turn": "0.324517598",
      "x": "0.675098220",
      "y": "0.881930989"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.899588209",
      "y": "0.830207584"
    },
    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.305136370",
      "y": "0.749119473"
    },
    {
      "turn": "0.154543984",
      "x": "0.530848004",
      "y": "0.717213197"
    },
    {
      "turn": "-0.000363744",
      "x": "0.749541742",
      "y": "0.694950730"
    },
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.118041140",
      "y": "0.675060618"
    },
    {
      "turn": "0.324517598",
      "x": "0.899535163",
      "y": "0.559763632"
    },
    {
      "turn": "-0.324131373",
      "x": "0.283297585",
      "y": "0.530721371"
    },
    {
      "turn": "0.229161301",
      "x": "0.505890019",
      "y": "0.494148954"
    },
    {
      "turn": "-0.001457407",
      "x": "0.716833897",
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    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.100411791",
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    {
      "turn": "0.154937620",
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    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.250935609",
      "y": "0.305154267"
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    {
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    },
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      "turn": "-0.161834936",
      "x": "0.694267038",
      "y": "0.251307717"
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      "y": "0.121473922"
    },
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      "y": "0.118041140"
    },
    {
      "turn": "0.154937620",
      "x": "0.559848591",
      "y": "0.100900382"
    },
    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.829069339",
      "y": "0.100411791"
    }
  ],
  "radius": "0.124115799"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 21,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.121500823",
      "y": "0.899588209"
    },
    {
      "turn": "-0.158384440",
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      "turn": "-0.150450887",
      "x": "0.468780000",
      "y": "0.284660292"
    },
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    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.829069339",
      "y": "0.100411791"
    }
  ],
  "radius": "0.124115799"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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