P86 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正五边形装入正方形 · n = 25

把 n 个边长为 1 的正五边形装入正方形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器正方形边长。

子题n = 25

目标最小化容器正方形边长

纪录对比

容器正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[7.45359, 7.45360)	Aapo Lipponen2026-10	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为单位正方形 [0,1]²；公开得分按文献的单位边长图形规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标容器正方形边长 = 1/(2 sin(π/5) r)，越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

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文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位正方形 [0,1]²

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.304220615",
      "y": "0.907669990"
    },
    {
      "turn": "-0.146427724",
      "x": "0.519229945",
      "y": "0.906127624"
    },
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.828487975",
      "y": "0.907669990"
    },
    {
      "turn": "-0.000084734",
      "x": "0.094264873",
      "y": "0.851662728"
    },
    {
      "turn": "0.170385498",
      "x": "0.672532878",
      "y": "0.790819194"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.427698515",
      "y": "0.724238889"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.907669990",
      "y": "0.716909566"
    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.243038496",
      "y": "0.716341580"
    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.573616877",
      "y": "0.610915894"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092330010",
      "y": "0.609611626"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.758276896",
      "y": "0.608369130"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.425570166",
      "y": "0.500522322"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.240910146",
      "y": "0.499952251"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.907669990",
      "y": "0.499828694"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092330010",
      "y": "0.390292875"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.573616877",
      "y": "0.390128749"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.758276896",
      "y": "0.391288258"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.243038496",
      "y": "0.283562921"
    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.907669990",
      "y": "0.282747822"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.427698515",
      "y": "0.276805754"
    },
    {
      "turn": "-0.175425824",
      "x": "0.671514730",
      "y": "0.209563390"
    },
    {
      "turn": "0.015597918",
      "x": "0.103280087",
      "y": "0.157190215"
    },
    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.304514530",
      "y": "0.092330010"
    },
    {
      "turn": "0.141432327",
      "x": "0.518706273",
      "y": "0.094503167"
    },
    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.828016411",
      "y": "0.092330010"
    }
  ],
  "radius": "0.114126167"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 25,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.304220615",
      "y": "0.907669990"
    },
    {
      "turn": "-0.146427724",
      "x": "0.519229945",
      "y": "0.906127624"
    },
    {
      "turn": "-0.158384440",
      "x": "0.828487975",
      "y": "0.907669990"
    },
    {
      "turn": "-0.000084734",
      "x": "0.094264873",
      "y": "0.851662728"
    },
    {
      "turn": "0.170385498",
      "x": "0.672532878",
      "y": "0.790819194"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.427698515",
      "y": "0.724238889"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.907669990",
      "y": "0.716909566"
    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.243038496",
      "y": "0.716341580"
    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.573616877",
      "y": "0.610915894"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092330010",
      "y": "0.609611626"
    },
    {
      "turn": "-0.000000000",
      "x": "0.758276896",
      "y": "0.608369130"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.425570166",
      "y": "0.500522322"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.240910146",
      "y": "0.499952251"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.907669990",
      "y": "0.499828694"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.092330010",
      "y": "0.390292875"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.573616877",
      "y": "0.390128749"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.758276896",
      "y": "0.391288258"
    },
    {
      "turn": "0.324919696",
      "x": "0.243038496",
      "y": "0.283562921"
    },
    {
      "turn": "-0.324919696",
      "x": "0.907669990",
      "y": "0.282747822"
    },
    {
      "turn": "0.000000000",
      "x": "0.427698515",
      "y": "0.276805754"
    },
    {
      "turn": "-0.175425824",
      "x": "0.671514730",
      "y": "0.209563390"
    },
    {
      "turn": "0.015597918",
      "x": "0.103280087",
      "y": "0.157190215"
    },
    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.304514530",
      "y": "0.092330010"
    },
    {
      "turn": "0.141432327",
      "x": "0.518706273",
      "y": "0.094503167"
    },
    {
      "turn": "0.158384440",
      "x": "0.828016411",
      "y": "0.092330010"
    }
  ],
  "radius": "0.114126167"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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