P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 18

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题n = 18

目标最小化容器三角形边长

已知最好（未证明）7.309来源精度区间：7.309–7.31（区间内视为追平）本站展示证书 7.309401143Erich Friedman 编录；Found by Erich Friedman in 1997. 原式：s = 5 + 4 / √3 = 7.309+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

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外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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7.309401143

容器三角形边长

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.132936724",
      "y": "0.093443046"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.514455690",
      "y": "0.704177300"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.582860747",
      "y": "0.585696265"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.651265804",
      "y": "0.467215231"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.406556954",
      "y": "0.567367186"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.719670862",
      "y": "0.348734196"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.456632931",
      "y": "0.380481093"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.338151897",
      "y": "0.448886151"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.788075919",
      "y": "0.230253161"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.546202587",
      "y": "0.262000058"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.388227874",
      "y": "0.262000058"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.269746839",
      "y": "0.330405116"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.852607586",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.715797471",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.578987357",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.442177242",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.305367127",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.201341782",
      "y": "0.211924081"
    }
  ],
  "radius": "0.096739359"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 18,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.132936724",
      "y": "0.093443046"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.514455690",
      "y": "0.704177300"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.582860747",
      "y": "0.585696265"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.651265804",
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    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.406556954",
      "y": "0.567367186"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.719670862",
      "y": "0.348734196"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.456632931",
      "y": "0.380481093"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.338151897",
      "y": "0.448886151"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.788075919",
      "y": "0.230253161"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.546202587",
      "y": "0.262000058"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.388227874",
      "y": "0.262000058"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.269746839",
      "y": "0.330405116"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.852607586",
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    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.715797471",
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    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.578987357",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.442177242",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.305367127",
      "y": "0.068405057"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.201341782",
      "y": "0.211924081"
    }
  ],
  "radius": "0.096739359"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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