P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 25

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题n = 25

目标最小化容器三角形边长

已知最好（未证明）8.464来源精度区间：8.464–8.465（区间内视为追平）本站展示证书 8.464101687Erich Friedman 编录；Found by Erich Friedman in 1997. 原式：s = 5 + 2 √3 = 8.464+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

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外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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8.464101687

容器三角形边长

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.514932285",
      "y": "0.301158731"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.310297359",
      "y": "0.183012702"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.114801060",
      "y": "0.080695239"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.512483597",
      "y": "0.726257150"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.571556612",
      "y": "0.623939687"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.419304761",
      "y": "0.608111120"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.630629627",
      "y": "0.521622224"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.487516403",
      "y": "0.489965091"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.360231746",
      "y": "0.505793657"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.757914283",
      "y": "0.301158731"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.689702641",
      "y": "0.419304761"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.428443388",
      "y": "0.387647628"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.292020104",
      "y": "0.387647628"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.816987298",
      "y": "0.198841269"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.668080417",
      "y": "0.177219044"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.455859270",
      "y": "0.198841269"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.369370373",
      "y": "0.285330165"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.232947090",
      "y": "0.285330165"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.872715343",
      "y": "0.059073015"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.754569314",
      "y": "0.059073015"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.636423284",
      "y": "0.059073015"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.518277254",
      "y": "0.059073015"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.400131225",
      "y": "0.059073015"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.251224344",
      "y": "0.080695239"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.173874075",
      "y": "0.183012702"
    }
  ],
  "radius": "0.083541858"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 25,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.514932285",
      "y": "0.301158731"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.310297359",
      "y": "0.183012702"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.114801060",
      "y": "0.080695239"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.512483597",
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      "x": "0.571556612",
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      "turn": "0.131652498",
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    },
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      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.668080417",
      "y": "0.177219044"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.455859270",
      "y": "0.198841269"
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    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.232947090",
      "y": "0.285330165"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
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    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.173874075",
      "y": "0.183012702"
    }
  ],
  "radius": "0.083541858"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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