P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 24

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题n = 24

目标最小化容器三角形边长

已知最好（未证明）8.309来源精度区间：8.309–8.31（区间内视为追平）本站展示证书 8.309401166Erich Friedman 编录；Found by Erich Friedman in 1997. 原式：s = 6 + 4 / √3 = 8.309+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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8.309401166

容器三角形边长

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.116938372",
      "y": "0.082197585"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.512716011",
      "y": "0.723655010"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.572888819",
      "y": "0.619432649"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.633061628",
      "y": "0.515210287"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.417802415",
      "y": "0.603309393"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.693234436",
      "y": "0.410987925"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.466506351",
      "y": "0.446975851"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.357629606",
      "y": "0.499087032"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.753407245",
      "y": "0.306765564"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.540642308",
      "y": "0.334691861"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.406333542",
      "y": "0.342753489"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.297456798",
      "y": "0.394864670"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.813580053",
      "y": "0.202543202"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.610123883",
      "y": "0.214346244"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.480469500",
      "y": "0.230469500"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.346160734",
      "y": "0.238531127"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.237283989",
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    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.870345617",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.750000000",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.629654383",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.509308766",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.388963149",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.268617532",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.177111181",
      "y": "0.186419947"
    }
  ],
  "radius": "0.085097201"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 24,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.116938372",
      "y": "0.082197585"
    },
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      "turn": "-0.131652498",
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      "x": "0.572888819",
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      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.633061628",
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    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.417802415",
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    },
    {
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    {
      "turn": "0.131652498",
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    {
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    {
      "turn": "-0.414213562",
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    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.750000000",
      "y": "0.060172809"
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    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.629654383",
      "y": "0.060172809"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.509308766",
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    },
    {
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      "x": "0.388963149",
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    {
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    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.177111181",
      "y": "0.186419947"
    }
  ],
  "radius": "0.085097201"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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