P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 20

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题n = 20

目标最小化容器三角形边长

已知最好（未证明）7.61695来源精度区间：7.61695–7.61696（区间内视为追平）本站展示证书 7.616954284Erich Friedman 编录；Found by Haowei Lin in July 2026. 原式：s = 7.61695+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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7.616954284

容器三角形边长

已追平已知最好

答案来源Haowei Lin

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.486123621",
      "y": "0.710704738"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.420470681",
      "y": "0.596990509"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.561926044",
      "y": "0.579426240"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.354825969",
      "y": "0.483290533"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.496283007",
      "y": "0.465729166"
    },
    {
      "turn": "-0.122541828",
      "x": "0.662727702",
      "y": "0.441408945"
    },
    {
      "turn": "-0.068598303",
      "x": "0.571706786",
      "y": "0.332644473"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.734036221",
      "y": "0.329376706"
    },
    {
      "turn": "-0.395459928",
      "x": "0.414609275",
      "y": "0.328467898"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.258855152",
      "y": "0.317064203"
    },
    {
      "turn": "-0.068598303",
      "x": "0.637864501",
      "y": "0.218055949"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.799999854",
      "y": "0.215124342"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.193212116",
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    },
    {
      "turn": "-0.414105290",
      "x": "0.476337674",
      "y": "0.197004097"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.127569080",
      "y": "0.089670055"
    },
    {
      "turn": "-0.203095735",
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      "y": "0.086310777"
    },
    {
      "turn": "-0.304463964",
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      "y": "0.077102556"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.424323257",
      "y": "0.065697223"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.293037184",
      "y": "0.065643036"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.555609329",
      "y": "0.065643036"
    }
  ],
  "radius": "0.092833271"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 20,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.486123621",
      "y": "0.710704738"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
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    },
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      "turn": "-0.131652498",
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      "x": "0.859248093",
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    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.424323257",
      "y": "0.065697223"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.293037184",
      "y": "0.065643036"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.555609329",
      "y": "0.065643036"
    }
  ],
  "radius": "0.092833271"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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