P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 39

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题n = 39

目标最小化容器三角形边长

已知最好（未证明）10.30940来源精度区间：10.3094–10.30941（区间内视为追平）本站展示证书 10.309401268Erich Friedman 编录；Found by Bhavithran Ananthan in July 2026. 原式：s = 8 + 4 / √3 = 10.30940+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

10.309401268

容器三角形边长

已追平已知最好

答案来源Bhavithran Ananthan

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.489750866",
      "y": "0.751274538"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.441251443",
      "y": "0.667271074"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.566251443",
      "y": "0.654275692"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.394877386",
      "y": "0.582040529"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.613974006",
      "y": "0.569823708"
    },
    {
      "turn": "-0.300059210",
      "x": "0.509285537",
      "y": "0.532986350"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.344519242",
      "y": "0.499110198"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.659465431",
      "y": "0.484083576"
    },
    {
      "turn": "0.077928099",
      "x": "0.431990814",
      "y": "0.444528394"
    },
    {
      "turn": "-0.300667504",
      "x": "0.555662555",
      "y": "0.443022989"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
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      "y": "0.413878408"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.711288098",
      "y": "0.401998787"
    },
    {
      "turn": "0.093828102",
      "x": "0.382012868",
      "y": "0.358510919"
    },
    {
      "turn": "-0.230352285",
      "x": "0.622770031",
      "y": "0.344498847"
    },
    {
      "turn": "-0.251180699",
      "x": "0.522305259",
      "y": "0.332883942"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.247709274",
      "y": "0.330994222"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.759994586",
      "y": "0.318114872"
    },
    {
      "turn": "0.127116306",
      "x": "0.320660764",
      "y": "0.262335517"
    },
    {
      "turn": "-0.111052614",
      "x": "0.681756833",
      "y": "0.255310021"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.198754833",
      "y": "0.247253463"
    },
    {
      "turn": "-0.407488738",
      "x": "0.435996114",
      "y": "0.243091269"
    },
    {
      "turn": "-0.242739443",
      "x": "0.554851406",
      "y": "0.240587007"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.808659291",
      "y": "0.234206834"
    },
    {
      "turn": "-0.123651604",
      "x": "0.734558408",
      "y": "0.166949253"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.150254908",
      "y": "0.163250289"
    },
    {
      "turn": "-0.249444697",
      "x": "0.615691221",
      "y": "0.157552155"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.857247979",
      "y": "0.150254908"
    },
    {
      "turn": "-0.397766418",
      "x": "0.274473662",
      "y": "0.146848342"
    },
    {
      "turn": "0.414513407",
      "x": "0.372801353",
      "y": "0.145529739"
    },
    {
      "turn": "-0.404302325",
      "x": "0.470593428",
      "y": "0.146324173"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.905747402",
      "y": "0.066251443"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.686494804",
      "y": "0.051796680"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.395498268",
      "y": "0.048504698"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.492497113",
      "y": "0.048798717"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.104501732",
      "y": "0.048499423"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.201500577",
      "y": "0.048499423"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.298499423",
      "y": "0.048506077"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.589495958",
      "y": "0.048499436"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.783493649",
      "y": "0.048499423"
    }
  ],
  "radius": "0.068588540"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 39,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.489750866",
      "y": "0.751274538"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.441251443",
      "y": "0.667271074"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.566251443",
      "y": "0.654275692"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.394877386",
      "y": "0.582040529"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
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      "y": "0.569823708"
    },
    {
      "turn": "-0.300059210",
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      "y": "0.532986350"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.344519242",
      "y": "0.499110198"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
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    },
    {
      "turn": "0.077928099",
      "x": "0.431990814",
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    },
    {
      "turn": "-0.300667504",
      "x": "0.555662555",
      "y": "0.443022989"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.298147343",
      "y": "0.413878408"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.711288098",
      "y": "0.401998787"
    },
    {
      "turn": "0.093828102",
      "x": "0.382012868",
      "y": "0.358510919"
    },
    {
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      "y": "0.344498847"
    },
    {
      "turn": "-0.251180699",
      "x": "0.522305259",
      "y": "0.332883942"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.247709274",
      "y": "0.330994222"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.759994586",
      "y": "0.318114872"
    },
    {
      "turn": "0.127116306",
      "x": "0.320660764",
      "y": "0.262335517"
    },
    {
      "turn": "-0.111052614",
      "x": "0.681756833",
      "y": "0.255310021"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.198754833",
      "y": "0.247253463"
    },
    {
      "turn": "-0.407488738",
      "x": "0.435996114",
      "y": "0.243091269"
    },
    {
      "turn": "-0.242739443",
      "x": "0.554851406",
      "y": "0.240587007"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.808659291",
      "y": "0.234206834"
    },
    {
      "turn": "-0.123651604",
      "x": "0.734558408",
      "y": "0.166949253"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.150254908",
      "y": "0.163250289"
    },
    {
      "turn": "-0.249444697",
      "x": "0.615691221",
      "y": "0.157552155"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.857247979",
      "y": "0.150254908"
    },
    {
      "turn": "-0.397766418",
      "x": "0.274473662",
      "y": "0.146848342"
    },
    {
      "turn": "0.414513407",
      "x": "0.372801353",
      "y": "0.145529739"
    },
    {
      "turn": "-0.404302325",
      "x": "0.470593428",
      "y": "0.146324173"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.905747402",
      "y": "0.066251443"
    },
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.686494804",
      "y": "0.051796680"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.395498268",
      "y": "0.048504698"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.492497113",
      "y": "0.048798717"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.104501732",
      "y": "0.048499423"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.201500577",
      "y": "0.048499423"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.298499423",
      "y": "0.048506077"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.589495958",
      "y": "0.048499436"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.783493649",
      "y": "0.048499423"
    }
  ],
  "radius": "0.068588540"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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