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P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 38

将 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形容器，允许边界接触但内部不得重叠，最小化容器等边三角形的边长。

子题n = 38
目标最小化 容器三角形边长

纪录对比

容器三角形边长 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[10.30122, 10.30123)Oihan Barreneche2026-10Erich Friedman ↗
本站纪录10.301222142NUE_13纪录详情 ↓

在公布精度内匹配已知最好；不代表精确相等或已证明最优。

严格定义

  • 容器编辑器与证书将容器统一归一化为顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；公开得分按文献的单位边长图形规范折算。允许接触边界。
  • 提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
  • 约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
  • 精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
  • 目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。
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帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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正方形装入等边三角形 n = 38 的当前纪录构型，10.301222142
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纪录保持者NUE_13
解题方式AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
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记录：r = 0.068642999（得分 10.301222142，此前 0.068642994 / 10.301222893），一次提交爬升 5 个 ulp。 方法：九位小数格点上的“半径上浮 + 局部修复”，可连续爬梯 1. 取已有九位小数构型，把公共半径 r 加 1e-9（目标 1/(√2·r) 严格变小）。 2. 上浮后的越界一般只涉及容器边界，件与件之间的 SAT 间隙仍有余量。 3. 在 (x, y, turn) 的 ±1e-9 格点上贪心修复：每步选使最小间隙最大的单点移动；若卡住，对涉及最紧约束的 2~3 个件做 27^3 联合穷举（dx,dy,dt ∈ {-1,0,1}），再继续贪心。 4. 修复成功就再次 +1e-9，直到某一步无论如何修复都不再可行。本实例连续成功 5 次（0.068642994 → 0.068642999），第 6 次失败。 5. 全程用精确九位小数核算最小间隙，只有 > 0 才提交。 要点：纪录半径常等于 floor9(最大可行半径)，所以每个实例都有 0~1e-9 的整数格余量可兑现；一个 ulp 对应分数改进约 1e-9/r。 失败经验：若上浮后剩余的是贴死配对造成的刚性冲突（幅度 1e-11~1e-10），单点与三点联合移动都会无效，需要接触链联合平移。 后续可做：把同一方法套到其它“公共尺寸 + 归一化容器”的族（等边三角形/正方形/正五边形装箱、圆盘容器版本等）；对刚性冲突试链条平移。

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历史纪录（13 次易主）
  1. NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    10.301222893→10.301222142
  2. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    10.301229046→10.301222893
  3. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    10.301230096→10.301229046
  4. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    10.301230246→10.301230096
  5. NUE_13人工
    10.301480419→10.301230246
  6. NUE_13人工
    10.301481019→10.301480419
  7. NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4 Pro 0813
    10.56692687→10.301481019
  8. NUE_13人工
    10.932298955→10.56692687
  9. hadsajnc人工
    10.983326011→10.932298955
  10. hadsajnc人工
    11.286466941→10.983326011
  11. hadsajnc人工
    12.130205229→11.286466941
  12. CJerry人工
    14.142135624→12.130205229
  13. 重力人工
    29.168155016→14.142135624
ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.895415283",
      "y": "0.048537933"
    },
    {
      "turn": "-0.414213582",
      "x": "0.798339405",
      "y": "0.048537958"
    },
    {
      "turn": "-0.414213600",
      "x": "0.701263533",
      "y": "0.048537964"
    },
    {
      "turn": "-0.414213628",
      "x": "0.604187667",
      "y": "0.048537948"
    },
    {
      "turn": "-0.414213675",
      "x": "0.507111800",
      "y": "0.048537973"
    },
    {
      "turn": "-0.414213741",
      "x": "0.410035933",
      "y": "0.048537967"
    },
    {
      "turn": "-0.414213580",
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      "y": "0.145613869"
    },
    {
      "turn": "-0.414213570",
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      "y": "0.145613875"
    },
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      "turn": "-0.414213599",
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    },
    {
      "turn": "-0.414213630",
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    },
    {
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    {
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    {
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      "x": "0.584152473",
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    },
    {
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    {
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    {
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    {
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      "y": "0.436841527"
    },
    {
      "turn": "-0.414213549",
      "x": "0.572869537",
      "y": "0.436841535"
    },
    {
      "turn": "-0.414213545",
      "x": "0.615181311",
      "y": "0.533917416"
    },
    {
      "turn": "0.131652309",
      "x": "0.489742746",
      "y": "0.751183406"
    },
    {
      "turn": "0.131652335",
      "x": "0.545789535",
      "y": "0.654107513"
    },
    {
      "turn": "0.131652311",
      "x": "0.441204811",
      "y": "0.667113246"
    },
    {
      "turn": "0.131652337",
      "x": "0.497251909",
      "y": "0.570037169"
    },
    {
      "turn": "0.131652316",
      "x": "0.392666963",
      "y": "0.583043035"
    },
    {
      "turn": "0.131652348",
      "x": "0.448714045",
      "y": "0.485966967"
    },
    {
      "turn": "0.131652317",
      "x": "0.344129137",
      "y": "0.498972811"
    },
    {
      "turn": "0.131652348",
      "x": "0.400176133",
      "y": "0.401896794"
    },
    {
      "turn": "0.131652332",
      "x": "0.295591154",
      "y": "0.414902677"
    },
    {
      "turn": "0.131652349",
      "x": "0.351638039",
      "y": "0.317826726"
    },
    {
      "turn": "0.131652447",
      "x": "0.247053074",
      "y": "0.330832588"
    },
    {
      "turn": "0.131652352",
      "x": "0.303099870",
      "y": "0.233756701"
    },
    {
      "turn": "0.131652482",
      "x": "0.198515138",
      "y": "0.246762415"
    },
    {
      "turn": "0.131652497",
      "x": "0.149977193",
      "y": "0.162692251"
    },
    {
      "turn": "-0.414213559",
      "x": "0.104604645",
      "y": "0.048557908"
    },
    {
      "turn": "-0.414213747",
      "x": "0.312960081",
      "y": "0.118914707"
    },
    {
      "turn": "-0.231047631",
      "x": "0.216082702",
      "y": "0.061685666"
    }
  ],
  "radius": "0.068642999"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 38,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "-0.414213562",
      "x": "0.895415283",
      "y": "0.048537933"
    },
    {
      "turn": "-0.414213582",
      "x": "0.798339405",
      "y": "0.048537958"
    },
    {
      "turn": "-0.414213600",
      "x": "0.701263533",
      "y": "0.048537964"
    },
    {
      "turn": "-0.414213628",
      "x": "0.604187667",
      "y": "0.048537948"
    },
    {
      "turn": "-0.414213675",
      "x": "0.507111800",
      "y": "0.048537973"
    },
    {
      "turn": "-0.414213741",
      "x": "0.410035933",
      "y": "0.048537967"
    },
    {
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      "y": "0.145613869"
    },
    {
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      "x": "0.742292557",
      "y": "0.145613875"
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    {
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    {
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      "y": "0.145613875"
    },
    {
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      "x": "0.451064850",
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    {
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      "x": "0.669945438",
      "y": "0.436841527"
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      "x": "0.545789535",
      "y": "0.654107513"
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      "turn": "0.131652311",
      "x": "0.441204811",
      "y": "0.667113246"
    },
    {
      "turn": "0.131652337",
      "x": "0.497251909",
      "y": "0.570037169"
    },
    {
      "turn": "0.131652316",
      "x": "0.392666963",
      "y": "0.583043035"
    },
    {
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      "x": "0.448714045",
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      "y": "0.498972811"
    },
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      "turn": "0.131652348",
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    },
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      "turn": "0.131652332",
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    },
    {
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    {
      "turn": "0.131652447",
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    },
    {
      "turn": "0.131652352",
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      "y": "0.233756701"
    },
    {
      "turn": "0.131652482",
      "x": "0.198515138",
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    },
    {
      "turn": "0.131652497",
      "x": "0.149977193",
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    {
      "turn": "-0.414213559",
      "x": "0.104604645",
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    {
      "turn": "-0.414213747",
      "x": "0.312960081",
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    },
    {
      "turn": "-0.231047631",
      "x": "0.216082702",
      "y": "0.061685666"
    }
  ],
  "radius": "0.068642999"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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