P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 31

把 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形，允许接触但内部不能重叠，最小化容器三角形边长。

子题n = 31

目标最小化容器三角形边长

已知最好（未证明）9.309来源精度区间：9.309–9.31（区间内视为追平）本站展示证书 9.30940126Erich Friedman 编录；Found by Erich Friedman in 1997. 原式：s = 7 + 4 / √3 = 9.309+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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9.30940126

容器三角形边长

已追平已知最好

答案来源Erich Friedman

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.488649922",
      "y": "0.738948195"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.434940774",
      "y": "0.645921222"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.573368061",
      "y": "0.631529899"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.384740082",
      "y": "0.550868641"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.621635142",
      "y": "0.535360948"
    },
    {
      "turn": "0.414205767",
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      "y": "0.485599326"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.331457719",
      "y": "0.457595263"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.678175377",
      "y": "0.443968503"
    },
    {
      "turn": "0.414205766",
      "x": "0.437499999",
      "y": "0.378181780"
    },
    {
      "turn": "0.414213968",
      "x": "0.547794118",
      "y": "0.378180316"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
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      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.385228581",
      "y": "0.269255893"
    },
    {
      "turn": "0.414213691",
      "x": "0.492646994",
      "y": "0.269255896"
    },
    {
      "turn": "0.414215863",
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      "y": "0.269256550"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
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      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.166395034",
      "y": "0.180786357"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.841913800",
      "y": "0.166395034"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.330481975",
      "y": "0.161837492"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.437900377",
      "y": "0.161837492"
    },
    {
      "turn": "0.414218214",
      "x": "0.547393668",
      "y": "0.161837514"
    },
    {
      "turn": "0.414219796",
      "x": "0.654812215",
      "y": "0.161837657"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.895622948",
      "y": "0.073368061"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.115727130",
      "y": "0.053709148"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.223145426",
      "y": "0.053709148"
    },
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      "turn": "0.414213562",
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      "y": "0.054419089"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.437982018",
      "y": "0.054419090"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.545400314",
      "y": "0.054418689"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.652818610",
      "y": "0.054418720"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.760236906",
      "y": "0.053709148"
    }
  ],
  "radius": "0.075956204"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 31,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.488649922",
      "y": "0.738948195"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.434940774",
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    },
    {
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      "turn": "-0.131652498",
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    },
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    },
    {
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      "x": "0.760236906",
      "y": "0.053709148"
    }
  ],
  "radius": "0.075956204"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

聊思路、贴方法、问为什么卡住。所有登录用户都可以发帖；发言公开署名，与纪录使用同一个名字，署名后的 #编号是账号注册序号，冒不了名。新发言经自动审核后公开。

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