P85 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

正方形装入等边三角形 · n = 32

将 n 个边长为 1 的正方形装入等边三角形容器，允许边界接触但内部不得重叠，最小化容器等边三角形的边长。

子题n = 32

目标最小化容器三角形边长

纪录对比

容器三角形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[9.464, 9.465)	Erich Friedman	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形；公开得分按文献的单位边长图形规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标容器三角形边长 = 1/(2 sin(π/4) r)，越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

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文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

顶点为 (0,0)、(1,0)、(1/2,√3/2) 的等边三角形

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.488835450",
      "y": "0.741025404"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.436004234",
      "y": "0.649519053"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.572168784",
      "y": "0.635362971"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.384960492",
      "y": "0.556980703"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.624022072",
      "y": "0.543292013"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.492805755",
      "y": "0.478417266"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.331443080",
      "y": "0.465870528"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.676665673",
      "y": "0.451677343"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.278951474",
      "y": "0.374168102"
    },
    {
      "turn": "0.414221741",
      "x": "0.438046237",
      "y": "0.372340505"
    },
    {
      "turn": "0.414221741",
      "x": "0.543968144",
      "y": "0.372341967"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.729532220",
      "y": "0.360191390"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.224679369",
      "y": "0.283493649"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.783493649",
      "y": "0.269337567"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.386164550",
      "y": "0.266417858"
    },
    {
      "turn": "0.414221384",
      "x": "0.492003073",
      "y": "0.266419348"
    },
    {
      "turn": "0.414221744",
      "x": "0.597924984",
      "y": "0.266420810"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.836324865",
      "y": "0.177831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.174839684",
      "y": "0.158493649"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.280502117",
      "y": "0.158493649"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.386164550",
      "y": "0.160495947"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.491826982",
      "y": "0.160497413"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.597489415",
      "y": "0.160498899"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.703151848",
      "y": "0.158493649"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.113835450",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.219510220",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.325172657",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213600",
      "x": "0.430844144",
      "y": "0.053956835"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.536589669",
      "y": "0.053956835"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.642279524",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.748201439",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.854123350",
      "y": "0.052831216"
    }
  ],
  "radius": "0.074714622"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 32,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.488835450",
      "y": "0.741025404"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.436004234",
      "y": "0.649519053"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.572168784",
      "y": "0.635362971"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.384960492",
      "y": "0.556980703"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.624022072",
      "y": "0.543292013"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.492805755",
      "y": "0.478417266"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.331443080",
      "y": "0.465870528"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.676665673",
      "y": "0.451677343"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.278951474",
      "y": "0.374168102"
    },
    {
      "turn": "0.414221741",
      "x": "0.438046237",
      "y": "0.372340505"
    },
    {
      "turn": "0.414221741",
      "x": "0.543968144",
      "y": "0.372341967"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.729532220",
      "y": "0.360191390"
    },
    {
      "turn": "0.131652498",
      "x": "0.224679369",
      "y": "0.283493649"
    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.783493649",
      "y": "0.269337567"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
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    },
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    },
    {
      "turn": "0.414221744",
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    },
    {
      "turn": "-0.131652498",
      "x": "0.836324865",
      "y": "0.177831216"
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    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.174839684",
      "y": "0.158493649"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.280502117",
      "y": "0.158493649"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.386164550",
      "y": "0.160495947"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.491826982",
      "y": "0.160497413"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.597489415",
      "y": "0.160498899"
    },
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      "turn": "0.414213562",
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      "y": "0.158493649"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
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      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.219510220",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.325172657",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213600",
      "x": "0.430844144",
      "y": "0.053956835"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.536589669",
      "y": "0.053956835"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.642279524",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.748201439",
      "y": "0.052831216"
    },
    {
      "turn": "0.414213562",
      "x": "0.854123350",
      "y": "0.052831216"
    }
  ],
  "radius": "0.074714622"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

外部证明NUE_13#310 条回复3 天前 外部记录更新（9.23更新）NUE_13#310 条回复39 天前