装箱问题
将若干几何体互不重叠地放入给定容器，并使它们的尺寸或数量尽可能大。本页汇总站内全部装箱题族：每项成绩均由确定性验证器精确复算，每个外部参考值均注明文献出处与最优性证明状态。
什么是装箱问题
一道装箱问题由三个要素确定：装入的几何体（等圆、不等圆、可旋转正方形、过原点的直线等）、外部容器（正方形、圆、L 形、十字形、半圆、扇形或三角形），以及优化目标（最大化共同半径、半径之和、共同边长或最小夹角）。当三者固定后，核心难点在于寻找最优几何排布；对于绝大多数规模参数，理论最优解至今仍未确定。
装箱问题具有典型的「验证易、求解难」特征：寻找更优构型往往需要复杂的全局搜索，但检验一组给定坐标是否合法只需毫秒级的确定性计算。任何人都可以提交坐标构型，验证器通过精确整数算术即时给出分数，一旦超越现有纪录即可公开登榜。
装箱、覆盖、散布与能量
几何极值问题常按约束形式分为四类：装箱问题要求几何体互不重叠并最大化尺寸；覆盖问题要求完全遮盖容器且不留空隙，并最小化尺寸；散布问题在容器内放置离散点并最大化最近点对距离；能量问题则最小化所有点对之间的势函数总和。四类问题的目标函数与最优构型各不相同，本页仅收录装箱题族。
机器精确验证机制
每份提交均为一组九位小数坐标。验证器将其转化为精确整数，用 BigInt 判定越界与重叠，不取浮点、不开平方、不做近似比较。同一份答案在任何机器上都会算出完全相同的分数。
页面严格区分两类外部参考值：「已证明最优」代表已有数学证明确认不存在更优排布，达到该值即宣告子题封盘；「已知最好」代表目前公开文献或计算记录中的最佳结果，尚未证明最优，超越它即构成新的突破。所有参考值均附原始文献链接。
等圆与自由圆
最经典的装箱题族：在给定容器内放入 n 个圆。多数题目固定容器并最大化共同半径；P57 允许各圆半径不同，P66 则同时优化三角形容器的形状。
半径 1…n 的圆
各圆半径固定为 1, 2, …, n，优化目标是调整圆心排布，将外接容器收缩到最小。
可倾斜的正方形
允许每个正方形自由旋转角度，自由度从单纯的平移位置扩展到「位置 + 旋转角」，绝大多数规模至今仍是开放难题。
高维与抽象空间
在高维球面或射影空间中排列方向、过原点的直线或子空间。验证同样基于精确整数算术，外部基准对应经典的球面码与 Grassmann 打包表。
最新突破
公开数据集
每个题族均提供稳定的 JSON 接口，包含全部子题的权威分数、证明状态、构型坐标、文献来源与验证器版本：
GET https://minmaxarena.com/data/square-circle-packing.json
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