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P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题

半径成等差的圆装入正方形

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

15.603280276y0
0x15.603280276
已验证构造side = 15.603280276
n = 5当前纪录 · 打开子题

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

严格定义

  • 容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
  • 提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
  • 目标最小化容器正方形边长 side

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

查看来源
逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

小规模子题保留独立详情页与可视化编辑器，便于观察和微调；大规模参数 n 汇总于下方总表，支持直接对比与提交。

讨论区（0）↓
n2
当前纪录5.121320344
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n3
当前纪录8.535533906
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n4
当前纪录11.949747469
已达最优
答案来源参考答案
解题方式公开参考构造
n5
当前纪录15.603280276已知最好 [15.60328027565, 15.60328027575]
难
答案来源Claudia O. López, John E. Beasley · Packomania
解题方式公开参考构造
n6
当前纪录19.422903276已知最好 [19.42290327535, 19.42290327545]
难
答案来源Claudia O. López, John E. Beasley · Packomania
解题方式公开参考构造
n7
当前纪录23.818879928已知最好 [23.81887992745, 23.81887992755]
难
纪录保持者Stonebubu
解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
n8
当前纪录29.105276686已知最好 [29.10527668475, 29.10527668485]
难
答案来源Claudia O. López, John E. Beasley · Packomania
解题方式公开参考构造
n9
当前纪录33.754305827已知最好 [33.75430582595, 33.75430582605]
难
答案来源Claudia O. López, John E. Beasley · Packomania
解题方式公开参考构造
n10
当前纪录38.580426415已知最好 [38.58042641455, 38.58042641465]
难
答案来源Claudia O. López, John E. Beasley · Packomania
解题方式公开参考构造
n11
当前纪录44.504984317已知最好 [44.50498431555, 44.50498431565]
难
答案来源Eckard Specht · Packomania
解题方式公开参考构造
n12
当前纪录50.181183005已知最好 [50.18118300355, 50.18118300365]
难
答案来源Eckard Specht · Packomania
解题方式公开参考构造
n13
当前纪录55.99136154已知最好 [55.99136153895, 55.99136153905]
难
答案来源Eckard Specht · Packomania
解题方式公开参考构造
n14
当前纪录61.849921315已知最好 [61.84992131305, 61.84992131315]
难
答案来源Eckard Specht · Packomania
解题方式公开参考构造
n15
当前纪录68.527563912已知最好 [68.52756391035, 68.52756391045]
难
答案来源Eckard Specht · Packomania
解题方式公开参考构造
n16
当前纪录75.009342562已知最好 [75.00934256005, 75.00934256015]
难
答案来源Kun He, Menglong Huang, Chenkai Yang · Packomania
解题方式公开参考构造
n17
当前纪录81.502023294已知最好 [81.50202329235, 81.50202329245]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n18
当前纪录88.404088125已知最好 [88.40408812395, 88.40408812405]
难
答案来源Kun He, Menglong Huang, Chenkai Yang · Packomania
解题方式公开参考构造
n19
当前纪录95.751147949已知最好 [95.75114794735, 95.75114794745]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n20
当前纪录103.117653256已知最好 [103.11765325525, 103.11765325535]
难
答案来源Eckard Specht · Packomania
解题方式公开参考构造
n21
当前纪录110.560297197已知最好 [110.56029719535, 110.56029719545]
难
纪录保持者Stonebubu
解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
n22
当前纪录118.363865188已知最好 [118.36386518635, 118.36386518645]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n23
当前纪录126.003553138已知最好 [126.00355313695, 126.00355313705]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n24
当前纪录134.072386876已知最好 [134.07238687485, 134.07238687495]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n25
当前纪录142.220544221已知最好 [142.22054421965, 142.22054421975]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n26
当前纪录150.721751905已知最好 [150.72175190355, 150.72175190365]
难
答案来源Wilfred Heap · Packomania
解题方式公开参考构造
n27
当前纪录159.0374705已知最好 [159.03747049845, 159.03747049855]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n28
当前纪录167.820337892已知最好 [167.82033789085, 167.82033789095]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n29
当前纪录176.505704217已知最好 [176.50570421465, 176.50570421475]
难
答案来源Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu · Packomania
解题方式公开参考构造
n30
当前纪录185.662545649已知最好 [185.66254564775, 185.66254564785]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
计算前沿

N = 31–100 总表

表中每一行均为独立计分的子题。外部参考值保留原始文献发表精度；站内提交构型均在九位小数网格上完成精确验证。

N当前纪录外部纪录纪录来源状态

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/graduated-circles-in-square.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/graduated-circles-in-square.json
BibTeX（点击复制）
@misc{minmaxarena-graduated-circles-in-square-2026-10,
  title  = {{Packing circles of radius 1,2,…,n into a square} (P13)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/graduated-circles-in-square.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

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