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P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题

半径成等差的圆装入圆

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

18.002795494y0
0x18.002795494
已验证构造r = 9.001397747
n = 5当前纪录 · 打开子题

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

严格定义

  • 容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
  • 提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
  • 目标最小化容器圆半径 radius

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

查看来源
逐个 n 竞争

所有 n 的当前最佳解

小规模子题保留独立详情页与可视化编辑器，便于观察和微调；大规模参数 n 汇总于下方总表，支持直接对比与提交。

讨论区（1）↓
n1
当前纪录1
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n2
当前纪录3
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n3
当前纪录5
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n4
当前纪录7
已达最优
答案来源Packomania · Eckard Specht
解题方式公开参考构造
n5
当前纪录9.001397747已知最好 [9.00139774605, 9.00139774615]
难
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n6
当前纪录11.0570404已知最好 [11.05704039965, 11.05704039975]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n7
当前纪录13.462110678已知最好 [13.46211067755, 13.46211067765]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n8
当前纪录16.221746677已知最好 [16.22174667655, 16.22174667665]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n9
当前纪录19.233193909已知最好 [19.23319390805, 19.23319390815]
难
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n10
当前纪录22.000193013已知最好 [22.00019301265, 22.00019301275]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n11
当前纪录24.96063429已知最好 [24.96063428885, 24.96063428895]
难
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n12
当前纪录28.371389438已知最好 [28.37138943635, 28.37138943645]
难
纪录保持者邱仲普
解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3
n13
当前纪录31.545867018已知最好 [31.54586701755, 31.54586701765]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n14
当前纪录35.095647145已知最好 [35.09564714355, 35.09564714365]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n15
当前纪录38.837995509已知最好 [38.83799550815, 38.83799550825]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n16
当前纪录42.458116436已知最好 [42.45811643565, 42.45811643575]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n17
当前纪录46.291342118已知最好 [46.29134211715, 46.29134211725]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n18
当前纪录50.119762624已知最好 [50.11976262345, 50.11976262355]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n19
当前纪录54.240293592已知最好 [54.24029359135, 54.24029359145]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n20
当前纪录58.40056748已知最好 [58.40056747895, 58.40056747905]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n21
当前纪录62.558877095已知最好 [62.55887709385, 62.55887709395]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n22
当前纪录66.760286242已知最好 [66.76028624135, 66.76028624145]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n23
当前纪录71.199461609已知最好 [71.19946160785, 71.19946160795]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n24
当前纪录75.749142583已知最好 [75.74914258185, 75.74914258195]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n25
当前纪录80.285864441已知最好 [80.28586443995, 80.28586444005]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n26
当前纪录84.978191067已知最好 [84.97819106565, 84.97819106575]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n27
当前纪录89.750962683已知最好 [89.75096268195, 89.75096268205]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n28
当前纪录94.525877103已知最好 [94.52587710145, 94.52587710155]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n29
当前纪录99.483111565已知最好 [99.48311156355, 99.48311156365]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
n30
当前纪录104.540363767已知最好 [104.54036376515, 104.54036376525]
难
纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
计算前沿

N = 31–200 总表

表中每一行均为独立计分的子题。外部参考值保留原始文献发表精度；站内提交构型均在九位小数网格上完成精确验证。

N当前纪录外部纪录纪录来源状态

引用与数据

该题族所有子题的权威分数、证明状态、坐标数据与文献来源均汇总于下方稳定链接，按 CC BY 4.0 协议发布。由于分数随纪录刷新而更新，引用时请同时注明文件中的 generatedAt 时间戳。

GET https://minmaxarena.com/data/graduated-circles-in-circle.json

引用建议使用 2026-10 冻结归档版：实时纪录会变，但冻结版永久固定，便于日后核查。

GET https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/graduated-circles-in-circle.json
BibTeX（点击复制）
@misc{minmaxarena-graduated-circles-in-circle-2026-10,
  title  = {{Packing circles of radius 1,2,…,n into a circle} (P06)},
  author = {{MinMax Arena}},
  year   = {2026},
  note   = {Machine-verified records, 2026-10 edition},
  url    = {https://minmaxarena.com/data/editions/2026-10/graduated-circles-in-circle.json},
  license = {CC BY 4.0}
}
DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

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