P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 12

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 12

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[50.18118300355, 50.18118300365]	Eckard Specht2005–2026	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

放大编辑并提交 ↗

当前展示：起步布局

50.181183005y0

123456789101112

0x50.181183005

已验证构造side = 50.181183005

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

查看来源

构型与历史

起步布局

查看构型、求解笔记与纪录历史。

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

历史纪录（2 次易主）

Eckard Specht · Packomania人工
65.098790803→50.181183005
2026-08-27
送到人工
50.181183005→65.098790803
2026-08-25

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "12.599980874",
      "48.436982778"
    ],
    [
      "48.099481716",
      "2.081909897"
    ],
    [
      "23.408327266",
      "3.086659173"
    ],
    [
      "33.019362154",
      "27.832541489"
    ],
    [
      "45.181183005",
      "26.23007109"
    ],
    [
      "6",
      "44.181183005"
    ],
    [
      "22.271437248",
      "25.25884167"
    ],
    [
      "8",
      "29.876858441"
    ],
    [
      "20.696938457",
      "41.181183005"
    ],
    [
      "39.670604419",
      "40.181183005"
    ],
    [
      "11.059863808",
      "11.035680501"
    ],
    [
      "35.880372459",
      "12"
    ]
  ],
  "side": "50.181183005"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 12
}

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "12.599980874",
      "48.436982778"
    ],
    [
      "48.099481716",
      "2.081909897"
    ],
    [
      "23.408327266",
      "3.086659173"
    ],
    [
      "33.019362154",
      "27.832541489"
    ],
    [
      "45.181183005",
      "26.23007109"
    ],
    [
      "6",
      "44.181183005"
    ],
    [
      "22.271437248",
      "25.25884167"
    ],
    [
      "8",
      "29.876858441"
    ],
    [
      "20.696938457",
      "41.181183005"
    ],
    [
      "39.670604419",
      "40.181183005"
    ],
    [
      "11.059863808",
      "11.035680501"
    ],
    [
      "35.880372459",
      "12"
    ]
  ],
  "side": "50.181183005"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。