P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 30

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 30

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[185.66254564775, 185.66254564785]	Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24	Packomania ↗
本站纪录	185.662545649	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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185.662545649y0

123456789101112131415161718192021222324252627282930

0x185.662545649

已验证构造side = 185.662545649

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
185.66254565→185.662545649
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "79.690820510",
      "140.795706209"
    ],
    [
      "38.215097499",
      "71.632515685"
    ],
    [
      "105.729221654",
      "182.629932686"
    ],
    [
      "80.743161767",
      "181.645815333"
    ],
    [
      "133.615065871",
      "5.033913263"
    ],
    [
      "179.586857682",
      "55.092719189"
    ],
    [
      "37.094050761",
      "43.532501075"
    ],
    [
      "125.093736118",
      "148.574699418"
    ],
    [
      "47.521397429",
      "31.394685131"
    ],
    [
      "47.396432240",
      "10.001043321"
    ],
    [
      "94.081211401",
      "174.587365704"
    ],
    [
      "12.000000000",
      "92.419122254"
    ],
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      "37.106871800",
      "88.604567516"
    ],
    [
      "119.384615376",
      "171.593340905"
    ],
    [
      "170.532737040",
      "117.752790516"
    ],
    [
      "115.246038800",
      "16.015464958"
    ],
    [
      "100.158923279",
      "146.734717752"
    ],
    [
      "18.000000000",
      "167.662545649"
    ],
    [
      "19.000000001",
      "62.219784512"
    ],
    [
      "20.002086690",
      "22.237488875"
    ],
    [
      "58.981287915",
      "60.996421609"
    ],
    [
      "77.099761960",
      "22.000000000"
    ],
    [
      "162.660145958",
      "78.822782652"
    ],
    [
      "24.520352014",
      "126.171763424"
    ],
    [
      "60.426406872",
      "160.662545649"
    ],
    [
      "129.157245117",
      "114.634858445"
    ],
    [
      "158.662545649",
      "158.662545649"
    ],
    [
      "157.662545649",
      "28.000000000"
    ],
    [
      "74.497328564",
      "108.528016182"
    ],
    [
      "110.542826897",
      "61.819108574"
    ]
  ],
  "side": "185.662545649"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 30
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "79.690820510",
      "140.795706209"
    ],
    [
      "38.215097499",
      "71.632515685"
    ],
    [
      "105.729221654",
      "182.629932686"
    ],
    [
      "80.743161767",
      "181.645815333"
    ],
    [
      "133.615065871",
      "5.033913263"
    ],
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      "55.092719189"
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      "47.521397429",
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      "47.396432240",
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      "171.593340905"
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      "115.246038800",
      "16.015464958"
    ],
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      "100.158923279",
      "146.734717752"
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    [
      "18.000000000",
      "167.662545649"
    ],
    [
      "19.000000001",
      "62.219784512"
    ],
    [
      "20.002086690",
      "22.237488875"
    ],
    [
      "58.981287915",
      "60.996421609"
    ],
    [
      "77.099761960",
      "22.000000000"
    ],
    [
      "162.660145958",
      "78.822782652"
    ],
    [
      "24.520352014",
      "126.171763424"
    ],
    [
      "60.426406872",
      "160.662545649"
    ],
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      "129.157245117",
      "114.634858445"
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    [
      "158.662545649",
      "158.662545649"
    ],
    [
      "157.662545649",
      "28.000000000"
    ],
    [
      "74.497328564",
      "108.528016182"
    ],
    [
      "110.542826897",
      "61.819108574"
    ]
  ],
  "side": "185.662545649"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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