P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 28

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 28

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[167.82033789085, 167.82033789095]	André Müller2025-12	Packomania ↗
本站纪录	167.820337892	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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167.820337892y0

12345678910111213141516171819202122232425262728

0x167.820337892

已验证构造side = 167.820337892

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
167.820337893→167.820337892
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "43.428492572",
      "68.831770660"
    ],
    [
      "72.464507416",
      "109.826130344"
    ],
    [
      "95.602063223",
      "161.801255185"
    ],
    [
      "133.507033230",
      "4.443612491"
    ],
    [
      "161.708520323",
      "122.820803071"
    ],
    [
      "81.145230682",
      "6.009261796"
    ],
    [
      "49.685667095",
      "160.820337892"
    ],
    [
      "98.267177254",
      "62.877839790"
    ],
    [
      "9.024512785",
      "93.080448417"
    ],
    [
      "10.694503917",
      "112.083422934"
    ],
    [
      "11.000000000",
      "45.631435514"
    ],
    [
      "118.106851340",
      "67.285794392"
    ],
    [
      "111.952030167",
      "154.806922987"
    ],
    [
      "14.000000000",
      "70.450782806"
    ],
    [
      "114.223717844",
      "126.567971763"
    ],
    [
      "37.333276997",
      "51.594532243"
    ],
    [
      "150.820337892",
      "17.000000000"
    ],
    [
      "19.803622632",
      "18.000000000"
    ],
    [
      "71.560536654",
      "58.908539108"
    ],
    [
      "147.820337892",
      "53.878177830"
    ],
    [
      "58.688066822",
      "21.000000015"
    ],
    [
      "145.820337892",
      "145.820337892"
    ],
    [
      "95.069768116",
      "93.712504939"
    ],
    [
      "24.000000000",
      "143.463883591"
    ],
    [
      "142.820337892",
      "98.599537380"
    ],
    [
      "75.643027663",
      "140.443502210"
    ],
    [
      "45.182695032",
      "97.071067000"
    ],
    [
      "107.185489435",
      "28.000000008"
    ]
  ],
  "side": "167.820337892"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 28
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "43.428492572",
      "68.831770660"
    ],
    [
      "72.464507416",
      "109.826130344"
    ],
    [
      "95.602063223",
      "161.801255185"
    ],
    [
      "133.507033230",
      "4.443612491"
    ],
    [
      "161.708520323",
      "122.820803071"
    ],
    [
      "81.145230682",
      "6.009261796"
    ],
    [
      "49.685667095",
      "160.820337892"
    ],
    [
      "98.267177254",
      "62.877839790"
    ],
    [
      "9.024512785",
      "93.080448417"
    ],
    [
      "10.694503917",
      "112.083422934"
    ],
    [
      "11.000000000",
      "45.631435514"
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    [
      "118.106851340",
      "67.285794392"
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    [
      "111.952030167",
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      "70.450782806"
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      "114.223717844",
      "126.567971763"
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    [
      "37.333276997",
      "51.594532243"
    ],
    [
      "150.820337892",
      "17.000000000"
    ],
    [
      "19.803622632",
      "18.000000000"
    ],
    [
      "71.560536654",
      "58.908539108"
    ],
    [
      "147.820337892",
      "53.878177830"
    ],
    [
      "58.688066822",
      "21.000000015"
    ],
    [
      "145.820337892",
      "145.820337892"
    ],
    [
      "95.069768116",
      "93.712504939"
    ],
    [
      "24.000000000",
      "143.463883591"
    ],
    [
      "142.820337892",
      "98.599537380"
    ],
    [
      "75.643027663",
      "140.443502210"
    ],
    [
      "45.182695032",
      "97.071067000"
    ],
    [
      "107.185489435",
      "28.000000008"
    ]
  ],
  "side": "167.820337892"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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