P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 16

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 16

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[75.00934256005, 75.00934256015]	Kun He, Menglong Huang, Chenkai Yang2015-04-19	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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当前展示：起步布局

75.009342562y0

12345678910111213141516

0x75.009342562

已验证构造side = 75.009342562

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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构型与历史

起步布局

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "47.53555176",
      "73.91555434"
    ],
    [
      "20.48980112",
      "72.882791617"
    ],
    [
      "3.049692568",
      "24.091760019"
    ],
    [
      "33.097779047",
      "28.928563223"
    ],
    [
      "25.428600619",
      "5"
    ],
    [
      "40.156181982",
      "21.844853176"
    ],
    [
      "27.401786754",
      "19.329817911"
    ],
    [
      "38.07771126",
      "8"
    ],
    [
      "66.009342562",
      "38.237900078"
    ],
    [
      "10.121332055",
      "64.888010507"
    ],
    [
      "11",
      "11.914874128"
    ],
    [
      "45.051259717",
      "39.564083891"
    ],
    [
      "34.041701904",
      "62.009342562"
    ],
    [
      "61.009342562",
      "60.687844399"
    ],
    [
      "60.009342562",
      "15"
    ],
    [
      "16",
      "39.304783714"
    ]
  ],
  "side": "75.009342562"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "47.53555176",
      "73.91555434"
    ],
    [
      "20.48980112",
      "72.882791617"
    ],
    [
      "3.049692568",
      "24.091760019"
    ],
    [
      "33.097779047",
      "28.928563223"
    ],
    [
      "25.428600619",
      "5"
    ],
    [
      "40.156181982",
      "21.844853176"
    ],
    [
      "27.401786754",
      "19.329817911"
    ],
    [
      "38.07771126",
      "8"
    ],
    [
      "66.009342562",
      "38.237900078"
    ],
    [
      "10.121332055",
      "64.888010507"
    ],
    [
      "11",
      "11.914874128"
    ],
    [
      "45.051259717",
      "39.564083891"
    ],
    [
      "34.041701904",
      "62.009342562"
    ],
    [
      "61.009342562",
      "60.687844399"
    ],
    [
      "60.009342562",
      "15"
    ],
    [
      "16",
      "39.304783714"
    ]
  ],
  "side": "75.009342562"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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