P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 29

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 29

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[176.50570421465, 176.50570421475]	Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

放大编辑并提交 ↗

当前展示：起步布局

176.505704217y0

1234567891011121314151617181920212223242526272829

0x176.505704217

已验证构造side = 176.505704217

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

查看来源

构型与历史

起步布局

查看构型、求解笔记与纪录历史。

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "171.937030569",
      "44.312992584"
    ],
    [
      "130.83178046",
      "174.217017055"
    ],
    [
      "137.744478898",
      "117.957528417"
    ],
    [
      "39.784668056",
      "172.458049246"
    ],
    [
      "123.126426035",
      "171.339113897"
    ],
    [
      "170.439260427",
      "121.751468894"
    ],
    [
      "86.511490439",
      "136.744460439"
    ],
    [
      "77.324722954",
      "168.438054186"
    ],
    [
      "75.161183084",
      "150.919091477"
    ],
    [
      "84.577312725",
      "10"
    ],
    [
      "61.372567974",
      "11"
    ],
    [
      "12.148877251",
      "64.420950836"
    ],
    [
      "13.004035759",
      "122.439268833"
    ],
    [
      "55.2928564",
      "162.505704217"
    ],
    [
      "161.505704217",
      "62.390600439"
    ],
    [
      "16.011470777",
      "93.562465699"
    ],
    [
      "81.690201275",
      "81.361435757"
    ],
    [
      "110.745556414",
      "19.961075356"
    ],
    [
      "102.375453837",
      "157.505704217"
    ],
    [
      "44.16110675",
      "70.957630471"
    ],
    [
      "21",
      "155.505704217"
    ],
    [
      "154.025412542",
      "98.626637994"
    ],
    [
      "75.767573295",
      "41.802334682"
    ],
    [
      "152.505704217",
      "24.443268516"
    ],
    [
      "108.660473432",
      "113.557777472"
    ],
    [
      "120.508440706",
      "62.864293072"
    ],
    [
      "27",
      "27.202671722"
    ],
    [
      "148.505704217",
      "148.505704217"
    ],
    [
      "54.91199826",
      "118.763679584"
    ]
  ],
  "side": "176.505704217"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 29
}

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "171.937030569",
      "44.312992584"
    ],
    [
      "130.83178046",
      "174.217017055"
    ],
    [
      "137.744478898",
      "117.957528417"
    ],
    [
      "39.784668056",
      "172.458049246"
    ],
    [
      "123.126426035",
      "171.339113897"
    ],
    [
      "170.439260427",
      "121.751468894"
    ],
    [
      "86.511490439",
      "136.744460439"
    ],
    [
      "77.324722954",
      "168.438054186"
    ],
    [
      "75.161183084",
      "150.919091477"
    ],
    [
      "84.577312725",
      "10"
    ],
    [
      "61.372567974",
      "11"
    ],
    [
      "12.148877251",
      "64.420950836"
    ],
    [
      "13.004035759",
      "122.439268833"
    ],
    [
      "55.2928564",
      "162.505704217"
    ],
    [
      "161.505704217",
      "62.390600439"
    ],
    [
      "16.011470777",
      "93.562465699"
    ],
    [
      "81.690201275",
      "81.361435757"
    ],
    [
      "110.745556414",
      "19.961075356"
    ],
    [
      "102.375453837",
      "157.505704217"
    ],
    [
      "44.16110675",
      "70.957630471"
    ],
    [
      "21",
      "155.505704217"
    ],
    [
      "154.025412542",
      "98.626637994"
    ],
    [
      "75.767573295",
      "41.802334682"
    ],
    [
      "152.505704217",
      "24.443268516"
    ],
    [
      "108.660473432",
      "113.557777472"
    ],
    [
      "120.508440706",
      "62.864293072"
    ],
    [
      "27",
      "27.202671722"
    ],
    [
      "148.505704217",
      "148.505704217"
    ],
    [
      "54.91199826",
      "118.763679584"
    ]
  ],
  "side": "176.505704217"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。