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P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 7

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 7
目标最小化 正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[23.81887992745, 23.81887992755]Claudia O. López, John E. Beasley2013Packomania ↗
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严格定义

  • 容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
  • 提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
  • 目标最小化容器正方形边长 side
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当前展示：本站纪录

23.818879928y0
0x23.818879928
已验证构造side = 23.818879928

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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半径成等差的圆装入正方形 n = 7 的当前纪录构型，23.818879928
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纪录保持者Stonebubu
解题方式AI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
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历史纪录（3 次易主）
  1. StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
    23.818879929→23.818879928
  2. Claudia O. López, John E. Beasley · Packomania人工
    23.818879929→23.818879929
  3. TmrgAI · Z.ai: GLM 5.3
    23.818879929→23.818879929
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1.019568128",
      "1.438143562"
    ],
    [
      "15.748384813",
      "9.724812059"
    ],
    [
      "20.818879928",
      "10.246738046"
    ],
    [
      "17.660040933",
      "4.000000000"
    ],
    [
      "5.000000000",
      "18.818879928"
    ],
    [
      "15.954451151",
      "17.818879928"
    ],
    [
      "7.077035688",
      "7.000000000"
    ]
  ],
  "side": "23.818879928"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 7
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1.019568128",
      "1.438143562"
    ],
    [
      "15.748384813",
      "9.724812059"
    ],
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      "20.818879928",
      "10.246738046"
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      "17.660040933",
      "4.000000000"
    ],
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      "5.000000000",
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    ],
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      "15.954451151",
      "17.818879928"
    ],
    [
      "7.077035688",
      "7.000000000"
    ]
  ],
  "side": "23.818879928"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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