极值竞技场
中/EN
P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 27

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 27
目标最小化 正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[159.03747049845, 159.03747049855]Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24Packomania ↗
本站纪录159.0374705Sigmoid with Codex纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

  • 容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
  • 提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
  • 目标最小化容器正方形边长 side
放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

159.0374705y0
0x159.0374705
已验证构造side = 159.0374705

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

查看来源
半径成等差的圆装入正方形 n = 27 的当前纪录构型，159.0374705
构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者Sigmoid with Codex
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（1 次易主）
  1. Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    159.037470501→159.0374705
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1.883639785",
      "157.173551363"
    ],
    [
      "58.518632442",
      "117.403369157"
    ],
    [
      "29.117375271",
      "29.774518099"
    ],
    [
      "33.623065879",
      "4.757923989"
    ],
    [
      "154.035525641",
      "109.209440602"
    ],
    [
      "107.466389958",
      "153.035136672"
    ],
    [
      "37.506282644",
      "75.277913830"
    ],
    [
      "35.089186902",
      "151.037470500"
    ],
    [
      "52.059749654",
      "150.037470500"
    ],
    [
      "10.000000016",
      "121.108472935"
    ],
    [
      "148.033191860",
      "61.492474103"
    ],
    [
      "53.424005791",
      "58.799322730"
    ],
    [
      "124.319840259",
      "66.248416318"
    ],
    [
      "14.000000000",
      "144.772792071"
    ],
    [
      "91.642002605",
      "15.005834516"
    ],
    [
      "16.000000016",
      "16.000000000"
    ],
    [
      "142.037470500",
      "90.457620738"
    ],
    [
      "39.477450706",
      "125.410470270"
    ],
    [
      "19.000000000",
      "93.540375425"
    ],
    [
      "105.390700600",
      "95.558037968"
    ],
    [
      "21.000000000",
      "52.660605562"
    ],
    [
      "61.285171152",
      "91.878048207"
    ],
    [
      "54.387798968",
      "23.008946996"
    ],
    [
      "89.184248411",
      "54.651425942"
    ],
    [
      "82.059749654",
      "134.037470500"
    ],
    [
      "133.037381589",
      "132.505460791"
    ],
    [
      "132.037470500",
      "27.000000000"
    ]
  ],
  "side": "159.037470500"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 27
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "1.883639785",
      "157.173551363"
    ],
    [
      "58.518632442",
      "117.403369157"
    ],
    [
      "29.117375271",
      "29.774518099"
    ],
    [
      "33.623065879",
      "4.757923989"
    ],
    [
      "154.035525641",
      "109.209440602"
    ],
    [
      "107.466389958",
      "153.035136672"
    ],
    [
      "37.506282644",
      "75.277913830"
    ],
    [
      "35.089186902",
      "151.037470500"
    ],
    [
      "52.059749654",
      "150.037470500"
    ],
    [
      "10.000000016",
      "121.108472935"
    ],
    [
      "148.033191860",
      "61.492474103"
    ],
    [
      "53.424005791",
      "58.799322730"
    ],
    [
      "124.319840259",
      "66.248416318"
    ],
    [
      "14.000000000",
      "144.772792071"
    ],
    [
      "91.642002605",
      "15.005834516"
    ],
    [
      "16.000000016",
      "16.000000000"
    ],
    [
      "142.037470500",
      "90.457620738"
    ],
    [
      "39.477450706",
      "125.410470270"
    ],
    [
      "19.000000000",
      "93.540375425"
    ],
    [
      "105.390700600",
      "95.558037968"
    ],
    [
      "21.000000000",
      "52.660605562"
    ],
    [
      "61.285171152",
      "91.878048207"
    ],
    [
      "54.387798968",
      "23.008946996"
    ],
    [
      "89.184248411",
      "54.651425942"
    ],
    [
      "82.059749654",
      "134.037470500"
    ],
    [
      "133.037381589",
      "132.505460791"
    ],
    [
      "132.037470500",
      "27.000000000"
    ]
  ],
  "side": "159.037470500"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。