P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 22

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 22

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[118.36386518635, 118.36386518645]	Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24	Packomania ↗
本站纪录	118.363865188	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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当前展示：本站纪录

118.363865188y0

12345678910111213141516171819202122

0x118.363865188

已验证构造side = 118.363865188

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
118.363865189→118.363865188
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "36.708265918",
      "97.651192250"
    ],
    [
      "2.813546590",
      "115.548304667"
    ],
    [
      "114.362456378",
      "67.185933902"
    ],
    [
      "4.376588727",
      "31.567282748"
    ],
    [
      "32.320508076",
      "5.000000000"
    ],
    [
      "22.630738548",
      "79.063757936"
    ],
    [
      "86.057509880",
      "71.291663288"
    ],
    [
      "8.045386835",
      "77.807839696"
    ],
    [
      "78.627837772",
      "9.000000000"
    ],
    [
      "80.264338707",
      "30.553989194"
    ],
    [
      "44.505258282",
      "107.363865188"
    ],
    [
      "106.363865188",
      "106.363865188"
    ],
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      "105.363865188",
      "81.383873194"
    ],
    [
      "42.340655007",
      "82.457751628"
    ],
    [
      "15.000000000",
      "15.000000000"
    ],
    [
      "102.363865188",
      "16.848630615"
    ],
    [
      "17.000000000",
      "101.363865187"
    ],
    [
      "100.363865188",
      "50.789756112"
    ],
    [
      "63.986450152",
      "57.548726102"
    ],
    [
      "51.980763552",
      "20.442614890"
    ],
    [
      "74.748193786",
      "96.906100028"
    ],
    [
      "23.241637393",
      "51.070422968"
    ]
  ],
  "side": "118.363865188"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 22
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "36.708265918",
      "97.651192250"
    ],
    [
      "2.813546590",
      "115.548304667"
    ],
    [
      "114.362456378",
      "67.185933902"
    ],
    [
      "4.376588727",
      "31.567282748"
    ],
    [
      "32.320508076",
      "5.000000000"
    ],
    [
      "22.630738548",
      "79.063757936"
    ],
    [
      "86.057509880",
      "71.291663288"
    ],
    [
      "8.045386835",
      "77.807839696"
    ],
    [
      "78.627837772",
      "9.000000000"
    ],
    [
      "80.264338707",
      "30.553989194"
    ],
    [
      "44.505258282",
      "107.363865188"
    ],
    [
      "106.363865188",
      "106.363865188"
    ],
    [
      "105.363865188",
      "81.383873194"
    ],
    [
      "42.340655007",
      "82.457751628"
    ],
    [
      "15.000000000",
      "15.000000000"
    ],
    [
      "102.363865188",
      "16.848630615"
    ],
    [
      "17.000000000",
      "101.363865187"
    ],
    [
      "100.363865188",
      "50.789756112"
    ],
    [
      "63.986450152",
      "57.548726102"
    ],
    [
      "51.980763552",
      "20.442614890"
    ],
    [
      "74.748193786",
      "96.906100028"
    ],
    [
      "23.241637393",
      "51.070422968"
    ]
  ],
  "side": "118.363865188"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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