P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 23

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 23

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[126.00355313695, 126.00355313705]	Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24	Packomania ↗
本站纪录	126.003553138	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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当前展示：本站纪录

126.003553138y0

1234567891011121314151617181920212223

0x126.003553138

已验证构造side = 126.003553138

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
126.003553139→126.003553138
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "124.177383627",
      "124.178013645"
    ],
    [
      "123.955490798",
      "37.193473847"
    ],
    [
      "58.828827511",
      "122.931459588"
    ],
    [
      "96.778492959",
      "121.967866456"
    ],
    [
      "65.129161338",
      "5.024387563"
    ],
    [
      "42.752382546",
      "44.638829283"
    ],
    [
      "46.287531428",
      "99.841922556"
    ],
    [
      "118.002077815",
      "27.893848302"
    ],
    [
      "47.179239524",
      "116.948613584"
    ],
    [
      "116.003553138",
      "10.000000000"
    ],
    [
      "61.448438645",
      "44.427532091"
    ],
    [
      "12.010338416",
      "74.961872403"
    ],
    [
      "13.043616951",
      "13.035446651"
    ],
    [
      "112.003553138",
      "112.003553138"
    ],
    [
      "111.003553138",
      "49.805530132"
    ],
    [
      "109.873407223",
      "81.696331216"
    ],
    [
      "82.036805906",
      "63.404337242"
    ],
    [
      "18.000000000",
      "43.721954956"
    ],
    [
      "45.528620437",
      "19.000000000"
    ],
    [
      "20.000000000",
      "106.003553138"
    ],
    [
      "44.992232848",
      "71.871899288"
    ],
    [
      "86.406239134",
      "22.165484115"
    ],
    [
      "76.124529768",
      "102.964986768"
    ]
  ],
  "side": "126.003553138"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 23
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "124.177383627",
      "124.178013645"
    ],
    [
      "123.955490798",
      "37.193473847"
    ],
    [
      "58.828827511",
      "122.931459588"
    ],
    [
      "96.778492959",
      "121.967866456"
    ],
    [
      "65.129161338",
      "5.024387563"
    ],
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      "42.752382546",
      "44.638829283"
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      "46.287531428",
      "99.841922556"
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      "118.002077815",
      "27.893848302"
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      "47.179239524",
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      "10.000000000"
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      "44.427532091"
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    [
      "12.010338416",
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      "13.035446651"
    ],
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      "112.003553138",
      "112.003553138"
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      "111.003553138",
      "49.805530132"
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      "63.404337242"
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      "18.000000000",
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      "45.528620437",
      "19.000000000"
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    [
      "20.000000000",
      "106.003553138"
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    [
      "44.992232848",
      "71.871899288"
    ],
    [
      "86.406239134",
      "22.165484115"
    ],
    [
      "76.124529768",
      "102.964986768"
    ]
  ],
  "side": "126.003553138"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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