P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 26

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 26

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[150.72175190355, 150.72175190365]	Wilfred Heap2026-09-10	Packomania ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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当前展示：起步布局

150.721751905y0

1234567891011121314151617181920212223242526

0x150.721751905

已验证构造side = 150.721751905

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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构型与历史

起步布局

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历史纪录（2 次易主）

Wilfred Heap · Packomania人工
150.722283636→150.721751905
2026-09-30
Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
150.721751905→150.722283636
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "116.377011367",
      "2.210095972"
    ],
    [
      "148.389030253",
      "50.439787874"
    ],
    [
      "48.814521094",
      "5.607973013"
    ],
    [
      "146.720235385",
      "83.959662275"
    ],
    [
      "5.001895649",
      "96.788326482"
    ],
    [
      "6.002274779",
      "51.26520873"
    ],
    [
      "22.92309216",
      "143.719097996"
    ],
    [
      "8.003033039",
      "142.11832424"
    ],
    [
      "141.721751905",
      "40"
    ],
    [
      "122.739469063",
      "40.82032806"
    ],
    [
      "67.96638722",
      "139.717581476"
    ],
    [
      "105.416440388",
      "54.426185274"
    ],
    [
      "43.761614397",
      "137.721751905"
    ],
    [
      "64.09326843",
      "14"
    ],
    [
      "135.716064957",
      "135.716064957"
    ],
    [
      "134.721751905",
      "16"
    ],
    [
      "133.558313225",
      "103.039856886"
    ],
    [
      "132.721751905",
      "66.98048917"
    ],
    [
      "19",
      "117.452009616"
    ],
    [
      "100.262091042",
      "86.738282993"
    ],
    [
      "98.193073614",
      "21.886906011"
    ],
    [
      "99.083813428",
      "128.721751905"
    ],
    [
      "23.008719987",
      "75.309042977"
    ],
    [
      "59.994367917",
      "104.472726157"
    ],
    [
      "67.367689339",
      "56.030656308"
    ],
    [
      "26",
      "26.20257761"
    ]
  ],
  "side": "150.721751905"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 26
}

起步布局答案

{
  "centers": [
    [
      "116.377011367",
      "2.210095972"
    ],
    [
      "148.389030253",
      "50.439787874"
    ],
    [
      "48.814521094",
      "5.607973013"
    ],
    [
      "146.720235385",
      "83.959662275"
    ],
    [
      "5.001895649",
      "96.788326482"
    ],
    [
      "6.002274779",
      "51.26520873"
    ],
    [
      "22.92309216",
      "143.719097996"
    ],
    [
      "8.003033039",
      "142.11832424"
    ],
    [
      "141.721751905",
      "40"
    ],
    [
      "122.739469063",
      "40.82032806"
    ],
    [
      "67.96638722",
      "139.717581476"
    ],
    [
      "105.416440388",
      "54.426185274"
    ],
    [
      "43.761614397",
      "137.721751905"
    ],
    [
      "64.09326843",
      "14"
    ],
    [
      "135.716064957",
      "135.716064957"
    ],
    [
      "134.721751905",
      "16"
    ],
    [
      "133.558313225",
      "103.039856886"
    ],
    [
      "132.721751905",
      "66.98048917"
    ],
    [
      "19",
      "117.452009616"
    ],
    [
      "100.262091042",
      "86.738282993"
    ],
    [
      "98.193073614",
      "21.886906011"
    ],
    [
      "99.083813428",
      "128.721751905"
    ],
    [
      "23.008719987",
      "75.309042977"
    ],
    [
      "59.994367917",
      "104.472726157"
    ],
    [
      "67.367689339",
      "56.030656308"
    ],
    [
      "26",
      "26.20257761"
    ]
  ],
  "side": "150.721751905"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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