P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 24

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 24

目标最小化正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[134.07238687485, 134.07238687495]	Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24	Packomania ↗
本站纪录	134.072386876	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
目标最小化容器正方形边长 side

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134.072386876y0

123456789101112131415161718192021222324

0x134.072386876

已验证构造side = 134.072386876

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（2 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
134.072386877→134.072386876
2026-09-02
StonebubuAI · Z.ai: GLM 5.3 Flash
134.072386878→134.072386877
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "2.197573683",
      "86.259698937"
    ],
    [
      "49.104672611",
      "25.092961232"
    ],
    [
      "76.813805282",
      "130.850063043"
    ],
    [
      "40.253747139",
      "129.984531251"
    ],
    [
      "5.063000372",
      "93.371943692"
    ],
    [
      "6.000000000",
      "46.386707505"
    ],
    [
      "40.560975366",
      "96.572492818"
    ],
    [
      "125.994505198",
      "40.709402101"
    ],
    [
      "125.072386876",
      "59.341418383"
    ],
    [
      "80.668112885",
      "95.189862686"
    ],
    [
      "82.933955728",
      "71.123361107"
    ],
    [
      "56.374728950",
      "12.000000000"
    ],
    [
      "121.072386876",
      "121.072386876"
    ],
    [
      "60.335541212",
      "81.897554322"
    ],
    [
      "92.735454275",
      "119.072386876"
    ],
    [
      "84.087541871",
      "16.000000001"
    ],
    [
      "117.072386876",
      "17.000000000"
    ],
    [
      "100.620117535",
      "47.892116042"
    ],
    [
      "58.990962269",
      "114.911947084"
    ],
    [
      "20.000000000",
      "114.072386876"
    ],
    [
      "61.696302315",
      "45.455600337"
    ],
    [
      "111.755335542",
      "87.335277420"
    ],
    [
      "23.148233498",
      "23.000000000"
    ],
    [
      "24.155775770",
      "70.269081889"
    ]
  ],
  "side": "134.072386876"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 24
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "2.197573683",
      "86.259698937"
    ],
    [
      "49.104672611",
      "25.092961232"
    ],
    [
      "76.813805282",
      "130.850063043"
    ],
    [
      "40.253747139",
      "129.984531251"
    ],
    [
      "5.063000372",
      "93.371943692"
    ],
    [
      "6.000000000",
      "46.386707505"
    ],
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      "40.560975366",
      "96.572492818"
    ],
    [
      "125.994505198",
      "40.709402101"
    ],
    [
      "125.072386876",
      "59.341418383"
    ],
    [
      "80.668112885",
      "95.189862686"
    ],
    [
      "82.933955728",
      "71.123361107"
    ],
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      "56.374728950",
      "12.000000000"
    ],
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      "121.072386876",
      "121.072386876"
    ],
    [
      "60.335541212",
      "81.897554322"
    ],
    [
      "92.735454275",
      "119.072386876"
    ],
    [
      "84.087541871",
      "16.000000001"
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    [
      "117.072386876",
      "17.000000000"
    ],
    [
      "100.620117535",
      "47.892116042"
    ],
    [
      "58.990962269",
      "114.911947084"
    ],
    [
      "20.000000000",
      "114.072386876"
    ],
    [
      "61.696302315",
      "45.455600337"
    ],
    [
      "111.755335542",
      "87.335277420"
    ],
    [
      "23.148233498",
      "23.000000000"
    ],
    [
      "24.155775770",
      "70.269081889"
    ]
  ],
  "side": "134.072386876"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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