P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 13

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 13

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[31.54586701755, 31.54586701765]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	31.545867018	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

63.091734036y0

12345678910111213

0x63.091734036

已验证构造r = 31.545867018

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
31.54586702→31.545867018
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "2.240254130",
      "36.791429459"
    ],
    [
      "6.520120079",
      "16.696001522"
    ],
    [
      "53.796253237",
      "13.710599567"
    ],
    [
      "20.428328752",
      "56.516081458"
    ],
    [
      "53.860600525",
      "45.924174437"
    ],
    [
      "26.246757545",
      "6.555653724"
    ],
    [
      "15.130840483",
      "13.296305612"
    ],
    [
      "8.493974932",
      "26.748146217"
    ],
    [
      "40.603978480",
      "10.899638880"
    ],
    [
      "13.904666219",
      "43.915685930"
    ],
    [
      "27.838305333",
      "26.690756477"
    ],
    [
      "50.947487806",
      "29.175628999"
    ],
    [
      "36.218053859",
      "49.493564741"
    ]
  ],
  "radius": "31.545867018"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 13
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "2.240254130",
      "36.791429459"
    ],
    [
      "6.520120079",
      "16.696001522"
    ],
    [
      "53.796253237",
      "13.710599567"
    ],
    [
      "20.428328752",
      "56.516081458"
    ],
    [
      "53.860600525",
      "45.924174437"
    ],
    [
      "26.246757545",
      "6.555653724"
    ],
    [
      "15.130840483",
      "13.296305612"
    ],
    [
      "8.493974932",
      "26.748146217"
    ],
    [
      "40.603978480",
      "10.899638880"
    ],
    [
      "13.904666219",
      "43.915685930"
    ],
    [
      "27.838305333",
      "26.690756477"
    ],
    [
      "50.947487806",
      "29.175628999"
    ],
    [
      "36.218053859",
      "49.493564741"
    ]
  ],
  "radius": "31.545867018"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前