P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 28

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 28

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[94.52587710145, 94.52587710155]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	94.525877103	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

189.051754206y0

12345678910111213141516171819202122232425262728

0x189.051754206

已验证构造r = 94.525877103

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
94.525877106→94.525877103
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "102.029395723",
      "60.248223355"
    ],
    [
      "107.783720276",
      "115.959569965"
    ],
    [
      "138.126567514",
      "14.053572128"
    ],
    [
      "4.278019681",
      "101.605622919"
    ],
    [
      "171.559172585",
      "140.130070778"
    ],
    [
      "69.543134575",
      "179.449126217"
    ],
    [
      "29.292249724",
      "152.878685401"
    ],
    [
      "179.977905369",
      "80.947080360"
    ],
    [
      "9.217718727",
      "88.450930235"
    ],
    [
      "125.350057635",
      "16.468055750"
    ],
    [
      "143.563389358",
      "26.956804883"
    ],
    [
      "71.355618242",
      "15.319441153"
    ],
    [
      "130.335318205",
      "167.760045093"
    ],
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      "48.649975318",
      "28.348875386"
    ],
    [
      "152.044660619",
      "149.443585283"
    ],
    [
      "99.343359027",
      "16.147913091"
    ],
    [
      "118.536701245",
      "42.992197670"
    ],
    [
      "68.040005148",
      "88.950639122"
    ],
    [
      "54.999106560",
      "158.882636829"
    ],
    [
      "120.764185823",
      "133.742251054"
    ],
    [
      "80.521284365",
      "125.899491191"
    ],
    [
      "95.177625190",
      "167.048825705"
    ],
    [
      "79.063110706",
      "49.460246064"
    ],
    [
      "155.922927005",
      "59.822828182"
    ],
    [
      "32.878741175",
      "64.025743008"
    ],
    [
      "161.390536608",
      "109.522981555"
    ],
    [
      "113.012790659",
      "87.385850492"
    ],
    [
      "32.198037627",
      "117.783838117"
    ]
  ],
  "radius": "94.525877103"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 28
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "102.029395723",
      "60.248223355"
    ],
    [
      "107.783720276",
      "115.959569965"
    ],
    [
      "138.126567514",
      "14.053572128"
    ],
    [
      "4.278019681",
      "101.605622919"
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      "171.559172585",
      "140.130070778"
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      "69.543134575",
      "179.449126217"
    ],
    [
      "29.292249724",
      "152.878685401"
    ],
    [
      "179.977905369",
      "80.947080360"
    ],
    [
      "9.217718727",
      "88.450930235"
    ],
    [
      "125.350057635",
      "16.468055750"
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      "143.563389358",
      "26.956804883"
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      "130.335318205",
      "167.760045093"
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      "152.044660619",
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      "99.343359027",
      "16.147913091"
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      "118.536701245",
      "42.992197670"
    ],
    [
      "68.040005148",
      "88.950639122"
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      "54.999106560",
      "158.882636829"
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      "120.764185823",
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    ],
    [
      "80.521284365",
      "125.899491191"
    ],
    [
      "95.177625190",
      "167.048825705"
    ],
    [
      "79.063110706",
      "49.460246064"
    ],
    [
      "155.922927005",
      "59.822828182"
    ],
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      "32.878741175",
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    [
      "161.390536608",
      "109.522981555"
    ],
    [
      "113.012790659",
      "87.385850492"
    ],
    [
      "32.198037627",
      "117.783838117"
    ]
  ],
  "radius": "94.525877103"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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