P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 29

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 29

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[99.48311156355, 99.48311156365]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	99.483111565	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

198.96622313y0

1234567891011121314151617181920212223242526272829

0x198.96622313

已验证构造r = 99.483111565

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
99.483111569→99.483111565
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "96.399910554",
      "4.265583979"
    ],
    [
      "190.315457971",
      "120.989119575"
    ],
    [
      "21.213265602",
      "148.264882900"
    ],
    [
      "7.005324921",
      "109.707090009"
    ],
    [
      "57.422455884",
      "183.323776751"
    ],
    [
      "167.399359799",
      "35.257998878"
    ],
    [
      "103.530153001",
      "191.877631859"
    ],
    [
      "163.734588501",
      "164.589404943"
    ],
    [
      "108.332950380",
      "9.433825997"
    ],
    [
      "137.425784677",
      "126.811527871"
    ],
    [
      "22.580870241",
      "55.837071811"
    ],
    [
      "184.682693659",
      "79.625467696"
    ],
    [
      "185.814727060",
      "104.599824553"
    ],
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      "40.169460828",
      "37.968642150"
    ],
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      "55.874719348"
    ],
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    ],
    [
      "21.468226861",
      "126.262608533"
    ],
    [
      "82.053898272",
      "179.080347662"
    ],
    [
      "55.896212162",
      "67.339057535"
    ],
    [
      "108.813511238",
      "117.792780249"
    ],
    [
      "21.806005540",
      "88.264109805"
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    [
      "168.374798825",
      "134.945316857"
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      "156.121420507"
    ],
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      "98.283274200",
      "75.071426011"
    ],
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      "63.525348793",
      "110.672604290"
    ],
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      "79.212992929",
      "28.851036870"
    ],
    [
      "147.069079013",
      "90.253572204"
    ],
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      "133.360954081",
      "36.684496278"
    ],
    [
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      "164.298736054"
    ]
  ],
  "radius": "99.483111565"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 29
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "96.399910554",
      "4.265583979"
    ],
    [
      "190.315457971",
      "120.989119575"
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      "109.707090009"
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      "164.298736054"
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  "radius": "99.483111565"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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