P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 24

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 24

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[75.74914258185, 75.74914258195]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	75.749142583	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

151.498285166y0

123456789101112131415161718192021222324

0x151.498285166

已验证构造r = 75.749142583

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
75.749142586→75.749142583
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "6.615011537",
      "61.342479393"
    ],
    [
      "28.929865545",
      "100.576337390"
    ],
    [
      "4.026871741",
      "66.244389067"
    ],
    [
      "142.766423175",
      "50.750392523"
    ],
    [
      "71.618360075",
      "5.203645946"
    ],
    [
      "26.240975949",
      "26.617845760"
    ],
    [
      "95.417594356",
      "141.546753155"
    ],
    [
      "138.561881994",
      "101.098421964"
    ],
    [
      "104.346392811",
      "83.918732069"
    ],
    [
      "20.301688412",
      "111.081378110"
    ],
    [
      "112.460649229",
      "22.416800616"
    ],
    [
      "36.495226087",
      "125.979444391"
    ],
    [
      "127.874100719",
      "40.817604230"
    ],
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      "88.464697543",
      "15.323392511"
    ],
    [
      "46.828464873",
      "101.035022646"
    ],
    [
      "22.665301894",
      "48.325322699"
    ],
    [
      "77.703890855",
      "92.626213546"
    ],
    [
      "18.477515757",
      "83.135153968"
    ],
    [
      "51.991674951",
      "67.429349587"
    ],
    [
      "131.457782057",
      "73.624433978"
    ],
    [
      "69.235765770",
      "130.109463921"
    ],
    [
      "54.240688991",
      "26.491079767"
    ],
    [
      "110.664590861",
      "115.288787432"
    ],
    [
      "92.535537835",
      "53.104714078"
    ]
  ],
  "radius": "75.749142583"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 24
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "6.615011537",
      "61.342479393"
    ],
    [
      "28.929865545",
      "100.576337390"
    ],
    [
      "4.026871741",
      "66.244389067"
    ],
    [
      "142.766423175",
      "50.750392523"
    ],
    [
      "71.618360075",
      "5.203645946"
    ],
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      "26.617845760"
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      "101.098421964"
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      "104.346392811",
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      "112.460649229",
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      "77.703890855",
      "92.626213546"
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      "18.477515757",
      "83.135153968"
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      "51.991674951",
      "67.429349587"
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      "131.457782057",
      "73.624433978"
    ],
    [
      "69.235765770",
      "130.109463921"
    ],
    [
      "54.240688991",
      "26.491079767"
    ],
    [
      "110.664590861",
      "115.288787432"
    ],
    [
      "92.535537835",
      "53.104714078"
    ]
  ],
  "radius": "75.749142583"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前