P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 22

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 22

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[66.76028624135, 66.76028624145]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	66.760286242	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

133.520572484y0

12345678910111213141516171819202122

0x133.520572484

已验证构造r = 66.760286242

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
66.760286244→66.760286242
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "85.446449064",
      "3.726715698"
    ],
    [
      "129.789920884",
      "62.716506651"
    ],
    [
      "51.771425173",
      "5.220523075"
    ],
    [
      "23.598645039",
      "21.310364075"
    ],
    [
      "118.415147299",
      "100.568855469"
    ],
    [
      "6.136401879",
      "66.640383097"
    ],
    [
      "27.220208632",
      "111.569594140"
    ],
    [
      "83.126395797",
      "123.195396743"
    ],
    [
      "111.710378232",
      "30.507702011"
    ],
    [
      "96.838050968",
      "18.639629023"
    ],
    [
      "119.578757524",
      "48.940291225"
    ],
    [
      "55.786448459",
      "39.899371205"
    ],
    [
      "42.020818555",
      "19.030556352"
    ],
    [
      "81.888177642",
      "83.816713050"
    ],
    [
      "99.394499405",
      "106.936589744"
    ],
    [
      "70.879131800",
      "16.167383868"
    ],
    [
      "54.724015366",
      "68.879903221"
    ],
    [
      "114.321832369",
      "77.505743161"
    ],
    [
      "23.008497745",
      "85.912986971"
    ],
    [
      "24.409284536",
      "46.938151546"
    ],
    [
      "87.431467179",
      "49.258473205"
    ],
    [
      "56.178347593",
      "110.011971619"
    ]
  ],
  "radius": "66.760286242"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 22
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "85.446449064",
      "3.726715698"
    ],
    [
      "129.789920884",
      "62.716506651"
    ],
    [
      "51.771425173",
      "5.220523075"
    ],
    [
      "23.598645039",
      "21.310364075"
    ],
    [
      "118.415147299",
      "100.568855469"
    ],
    [
      "6.136401879",
      "66.640383097"
    ],
    [
      "27.220208632",
      "111.569594140"
    ],
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      "83.126395797",
      "123.195396743"
    ],
    [
      "111.710378232",
      "30.507702011"
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    ],
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      "119.578757524",
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    ],
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      "39.899371205"
    ],
    [
      "42.020818555",
      "19.030556352"
    ],
    [
      "81.888177642",
      "83.816713050"
    ],
    [
      "99.394499405",
      "106.936589744"
    ],
    [
      "70.879131800",
      "16.167383868"
    ],
    [
      "54.724015366",
      "68.879903221"
    ],
    [
      "114.321832369",
      "77.505743161"
    ],
    [
      "23.008497745",
      "85.912986971"
    ],
    [
      "24.409284536",
      "46.938151546"
    ],
    [
      "87.431467179",
      "49.258473205"
    ],
    [
      "56.178347593",
      "110.011971619"
    ]
  ],
  "radius": "66.760286242"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前