P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 25

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 25

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[80.28586443995, 80.28586444005]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	80.285864441	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

160.571728882y0

12345678910111213141516171819202122232425

0x160.571728882

已验证构造r = 80.285864441

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
80.285864445→80.285864441
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "74.456440015",
      "16.217250142"
    ],
    [
      "150.475235086",
      "111.434758038"
    ],
    [
      "50.094820946",
      "54.183891311"
    ],
    [
      "4.857087679",
      "86.901449460"
    ],
    [
      "123.243021135",
      "142.045645528"
    ],
    [
      "75.453911476",
      "154.347513963"
    ],
    [
      "73.301138235",
      "7.411850688"
    ],
    [
      "23.872143736",
      "35.089201797"
    ],
    [
      "144.156081093",
      "48.627218009"
    ],
    [
      "149.289299749",
      "66.920661267"
    ],
    [
      "131.250500046",
      "33.348278980"
    ],
    [
      "15.416876597",
      "101.607354208"
    ],
    [
      "28.333111423",
      "123.044477695"
    ],
    [
      "75.724605929",
      "109.431463227"
    ],
    [
      "130.036769217",
      "122.559870281"
    ],
    [
      "46.982282825",
      "100.836181812"
    ],
    [
      "142.282341810",
      "92.995602120"
    ],
    [
      "106.663012860",
      "99.264645152"
    ],
    [
      "57.118076991",
      "137.023953983"
    ],
    [
      "119.195305977",
      "63.390676466"
    ],
    [
      "97.117930778",
      "137.132106756"
    ],
    [
      "53.180803857",
      "28.685886880"
    ],
    [
      "98.090542619",
      "25.837139023"
    ],
    [
      "25.579914588",
      "67.043599284"
    ],
    [
      "74.751451759",
      "70.443606515"
    ]
  ],
  "radius": "80.285864441"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 25
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "74.456440015",
      "16.217250142"
    ],
    [
      "150.475235086",
      "111.434758038"
    ],
    [
      "50.094820946",
      "54.183891311"
    ],
    [
      "4.857087679",
      "86.901449460"
    ],
    [
      "123.243021135",
      "142.045645528"
    ],
    [
      "75.453911476",
      "154.347513963"
    ],
    [
      "73.301138235",
      "7.411850688"
    ],
    [
      "23.872143736",
      "35.089201797"
    ],
    [
      "144.156081093",
      "48.627218009"
    ],
    [
      "149.289299749",
      "66.920661267"
    ],
    [
      "131.250500046",
      "33.348278980"
    ],
    [
      "15.416876597",
      "101.607354208"
    ],
    [
      "28.333111423",
      "123.044477695"
    ],
    [
      "75.724605929",
      "109.431463227"
    ],
    [
      "130.036769217",
      "122.559870281"
    ],
    [
      "46.982282825",
      "100.836181812"
    ],
    [
      "142.282341810",
      "92.995602120"
    ],
    [
      "106.663012860",
      "99.264645152"
    ],
    [
      "57.118076991",
      "137.023953983"
    ],
    [
      "119.195305977",
      "63.390676466"
    ],
    [
      "97.117930778",
      "137.132106756"
    ],
    [
      "53.180803857",
      "28.685886880"
    ],
    [
      "98.090542619",
      "25.837139023"
    ],
    [
      "25.579914588",
      "67.043599284"
    ],
    [
      "74.751451759",
      "70.443606515"
    ]
  ],
  "radius": "80.285864441"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前