P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 27

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 27

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[89.75096268195, 89.75096268205]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	89.750962683	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

179.501925366y0

123456789101112131415161718192021222324252627

0x179.501925366

已验证构造r = 89.750962683

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
89.750962686→89.750962683
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "53.452555928",
      "138.992968958"
    ],
    [
      "74.142091974",
      "91.170291604"
    ],
    [
      "99.686800616",
      "86.745083710"
    ],
    [
      "136.396502922",
      "161.618291611"
    ],
    [
      "5.658085486",
      "99.916146127"
    ],
    [
      "169.690920400",
      "114.367785641"
    ],
    [
      "119.284394752",
      "12.510126996"
    ],
    [
      "57.088989570",
      "14.913323878"
    ],
    [
      "108.497955816",
      "53.186286589"
    ],
    [
      "100.661402750",
      "168.690441464"
    ],
    [
      "121.076229394",
      "162.003587472"
    ],
    [
      "104.281002960",
      "146.289887429"
    ],
    [
      "55.042066823",
      "124.033717278"
    ],
    [
      "37.064235795",
      "144.178135650"
    ],
    [
      "159.310588993",
      "62.380087476"
    ],
    [
      "163.425584138",
      "93.105757770"
    ],
    [
      "17.536311960",
      "80.933548539"
    ],
    [
      "22.793453453",
      "115.536474187"
    ],
    [
      "51.725956234",
      "92.206002773"
    ],
    [
      "83.517184675",
      "69.615788205"
    ],
    [
      "133.807771756",
      "36.971303306"
    ],
    [
      "71.408099816",
      "154.971606089"
    ],
    [
      "125.601290025",
      "80.285469335"
    ],
    [
      "90.398217195",
      "113.074405204"
    ],
    [
      "89.392553127",
      "25.000991942"
    ],
    [
      "43.068962979",
      "46.334650696"
    ],
    [
      "139.009074341",
      "128.501153648"
    ]
  ],
  "radius": "89.750962683"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 27
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "53.452555928",
      "138.992968958"
    ],
    [
      "74.142091974",
      "91.170291604"
    ],
    [
      "99.686800616",
      "86.745083710"
    ],
    [
      "136.396502922",
      "161.618291611"
    ],
    [
      "5.658085486",
      "99.916146127"
    ],
    [
      "169.690920400",
      "114.367785641"
    ],
    [
      "119.284394752",
      "12.510126996"
    ],
    [
      "57.088989570",
      "14.913323878"
    ],
    [
      "108.497955816",
      "53.186286589"
    ],
    [
      "100.661402750",
      "168.690441464"
    ],
    [
      "121.076229394",
      "162.003587472"
    ],
    [
      "104.281002960",
      "146.289887429"
    ],
    [
      "55.042066823",
      "124.033717278"
    ],
    [
      "37.064235795",
      "144.178135650"
    ],
    [
      "159.310588993",
      "62.380087476"
    ],
    [
      "163.425584138",
      "93.105757770"
    ],
    [
      "17.536311960",
      "80.933548539"
    ],
    [
      "22.793453453",
      "115.536474187"
    ],
    [
      "51.725956234",
      "92.206002773"
    ],
    [
      "83.517184675",
      "69.615788205"
    ],
    [
      "133.807771756",
      "36.971303306"
    ],
    [
      "71.408099816",
      "154.971606089"
    ],
    [
      "125.601290025",
      "80.285469335"
    ],
    [
      "90.398217195",
      "113.074405204"
    ],
    [
      "89.392553127",
      "25.000991942"
    ],
    [
      "43.068962979",
      "46.334650696"
    ],
    [
      "139.009074341",
      "128.501153648"
    ]
  ],
  "radius": "89.750962683"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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