P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 23

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 23

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[71.19946160785, 71.19946160795]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	71.199461609	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

142.398923218y0

1234567891011121314151617181920212223

0x142.398923218

已验证构造r = 71.199461609

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
71.199461612→71.199461609
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "79.536483465",
      "1.539044790"
    ],
    [
      "21.508998199",
      "23.084934848"
    ],
    [
      "138.856649050",
      "76.106255497"
    ],
    [
      "88.268547701",
      "136.128961703"
    ],
    [
      "5.899030292",
      "60.403798807"
    ],
    [
      "36.902221148",
      "126.649160353"
    ],
    [
      "118.153872186",
      "27.441089204"
    ],
    [
      "51.197759007",
      "11.248616406"
    ],
    [
      "68.058786591",
      "9.079342607"
    ],
    [
      "36.107191677",
      "21.060587547"
    ],
    [
      "118.526073922",
      "108.403855771"
    ],
    [
      "128.111533418",
      "87.496465540"
    ],
    [
      "98.985212354",
      "122.337797396"
    ],
    [
      "83.976903255",
      "55.357224291"
    ],
    [
      "15.438685701",
      "78.207696427"
    ],
    [
      "28.588409020",
      "106.280544103"
    ],
    [
      "58.524835172",
      "36.298707133"
    ],
    [
      "24.145924795",
      "46.377145263"
    ],
    [
      "92.131096573",
      "23.380527598"
    ],
    [
      "94.536113144",
      "88.713042531"
    ],
    [
      "118.974268389",
      "55.786681753"
    ],
    [
      "64.071625698",
      "119.879857846"
    ],
    [
      "53.383876634",
      "76.167479508"
    ]
  ],
  "radius": "71.199461609"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 23
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "79.536483465",
      "1.539044790"
    ],
    [
      "21.508998199",
      "23.084934848"
    ],
    [
      "138.856649050",
      "76.106255497"
    ],
    [
      "88.268547701",
      "136.128961703"
    ],
    [
      "5.899030292",
      "60.403798807"
    ],
    [
      "36.902221148",
      "126.649160353"
    ],
    [
      "118.153872186",
      "27.441089204"
    ],
    [
      "51.197759007",
      "11.248616406"
    ],
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      "68.058786591",
      "9.079342607"
    ],
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      "118.526073922",
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    ],
    [
      "128.111533418",
      "87.496465540"
    ],
    [
      "98.985212354",
      "122.337797396"
    ],
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      "83.976903255",
      "55.357224291"
    ],
    [
      "15.438685701",
      "78.207696427"
    ],
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      "28.588409020",
      "106.280544103"
    ],
    [
      "58.524835172",
      "36.298707133"
    ],
    [
      "24.145924795",
      "46.377145263"
    ],
    [
      "92.131096573",
      "23.380527598"
    ],
    [
      "94.536113144",
      "88.713042531"
    ],
    [
      "118.974268389",
      "55.786681753"
    ],
    [
      "64.071625698",
      "119.879857846"
    ],
    [
      "53.383876634",
      "76.167479508"
    ]
  ],
  "radius": "71.199461609"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前