P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 16

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 16

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[42.45811643565, 42.45811643575]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	42.458116436	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

放大编辑并提交 ↗

当前展示：本站纪录

84.916232872y0

12345678910111213141516

0x84.916232872

已验证构造r = 42.458116436

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

查看来源

构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

纪录保持者的求解笔记暂无求解笔记（点击展开）＋

纪录保持者暂未分享求解过程。

历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
42.458116439→42.458116436
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "25.343111091",
      "80.080464086"
    ],
    [
      "8.747111340",
      "63.193934110"
    ],
    [
      "3.273574819",
      "40.104195337"
    ],
    [
      "33.774543476",
      "79.320874610"
    ],
    [
      "47.905138573",
      "5.400323852"
    ],
    [
      "77.058722392",
      "53.946907558"
    ],
    [
      "69.960964247",
      "64.838272455"
    ],
    [
      "76.824749011",
      "39.948862821"
    ],
    [
      "10.911028678",
      "49.924229148"
    ],
    [
      "60.990446839",
      "48.834075138"
    ],
    [
      "13.575067173",
      "29.992862529"
    ],
    [
      "23.835325910",
      "66.559745631"
    ],
    [
      "32.192105797",
      "14.846712098"
    ],
    [
      "49.606199233",
      "70.003883866"
    ],
    [
      "36.306948969",
      "42.612749613"
    ],
    [
      "60.097742848",
      "22.738189829"
    ]
  ],
  "radius": "42.458116436"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "25.343111091",
      "80.080464086"
    ],
    [
      "8.747111340",
      "63.193934110"
    ],
    [
      "3.273574819",
      "40.104195337"
    ],
    [
      "33.774543476",
      "79.320874610"
    ],
    [
      "47.905138573",
      "5.400323852"
    ],
    [
      "77.058722392",
      "53.946907558"
    ],
    [
      "69.960964247",
      "64.838272455"
    ],
    [
      "76.824749011",
      "39.948862821"
    ],
    [
      "10.911028678",
      "49.924229148"
    ],
    [
      "60.990446839",
      "48.834075138"
    ],
    [
      "13.575067173",
      "29.992862529"
    ],
    [
      "23.835325910",
      "66.559745631"
    ],
    [
      "32.192105797",
      "14.846712098"
    ],
    [
      "49.606199233",
      "70.003883866"
    ],
    [
      "36.306948969",
      "42.612749613"
    ],
    [
      "60.097742848",
      "22.738189829"
    ]
  ],
  "radius": "42.458116436"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前