P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 30

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 30

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[104.54036376515, 104.54036376525]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	104.540363767	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

209.080727534y0

123456789101112131415161718192021222324252627282930

0x209.080727534

已验证构造r = 104.540363767

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
104.54036377→104.540363767
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "17.365119349",
      "59.526069102"
    ],
    [
      "198.913829555",
      "124.869162596"
    ],
    [
      "142.037407718",
      "144.308352703"
    ],
    [
      "33.312283311",
      "175.475431349"
    ],
    [
      "172.871027463",
      "32.444648951"
    ],
    [
      "13.822217550",
      "66.124183132"
    ],
    [
      "103.891903524",
      "202.078571988"
    ],
    [
      "131.968063231",
      "11.978151508"
    ],
    [
      "167.875606902",
      "176.035000113"
    ],
    [
      "61.357102676",
      "20.438720842"
    ],
    [
      "87.928834892",
      "112.461047097"
    ],
    [
      "194.852173635",
      "84.353835475"
    ],
    [
      "195.955365467",
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      "53.537759490",
      "178.135275958"
    ],
    [
      "17.452569682",
      "88.568133573"
    ],
    [
      "83.450781178",
      "189.502383485"
    ],
    [
      "149.877556292",
      "30.826229880"
    ],
    [
      "166.404116358",
      "96.670817135"
    ],
    [
      "175.622674364",
      "58.775986507"
    ],
    [
      "33.382051949",
      "148.306641166"
    ],
    [
      "90.008896761",
      "79.526667755"
    ],
    [
      "133.629211352",
      "68.469174594"
    ],
    [
      "53.019088407",
      "106.871760149"
    ],
    [
      "80.222800603",
      "147.626613146"
    ],
    [
      "173.859098475",
      "141.465988460"
    ],
    [
      "125.550181127",
      "117.812150494"
    ],
    [
      "46.263350560",
      "55.312473825"
    ],
    [
      "99.317517850",
      "29.383377342"
    ],
    [
      "128.801212323",
      "174.719362658"
    ]
  ],
  "radius": "104.540363767"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 30
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "17.365119349",
      "59.526069102"
    ],
    [
      "198.913829555",
      "124.869162596"
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      "144.308352703"
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    [
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      "175.475431349"
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      "172.871027463",
      "32.444648951"
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      "13.822217550",
      "66.124183132"
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      "83.450781178",
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      "46.263350560",
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      "99.317517850",
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      "128.801212323",
      "174.719362658"
    ]
  ],
  "radius": "104.540363767"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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