P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 26

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 26

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[84.97819106565, 84.97819106575]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	84.978191067	Sigmoid with Codex	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

169.956382134y0

1234567891011121314151617181920212223242526

0x169.956382134

已验证构造r = 84.978191067

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者Sigmoid with Codex

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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历史纪录（1 次易主）

Sigmoid with CodexAI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
84.978191069→84.978191067
2026-09-02

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "8.454024683",
      "114.313695512"
    ],
    [
      "114.794670247",
      "52.173158342"
    ],
    [
      "98.465207514",
      "125.469103916"
    ],
    [
      "158.135758691",
      "117.498421104"
    ],
    [
      "6.729635920",
      "69.034483926"
    ],
    [
      "163.744996756",
      "79.296579904"
    ],
    [
      "15.099041701",
      "119.583143977"
    ],
    [
      "73.423185662",
      "8.872187690"
    ],
    [
      "134.801319391",
      "27.616693512"
    ],
    [
      "106.690714779",
      "61.794950018"
    ],
    [
      "86.176299211",
      "158.946679563"
    ],
    [
      "63.563576489",
      "154.743731657"
    ],
    [
      "47.990296539",
      "67.689644640"
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    [
      "152.615678765",
      "98.274504644"
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      "78.668326349",
      "129.987994308"
    ],
    [
      "78.797356687",
      "64.236378779"
    ],
    [
      "62.877163638",
      "97.636190954"
    ],
    [
      "113.088824861",
      "143.561103098"
    ],
    [
      "40.680912189",
      "130.965933724"
    ],
    [
      "22.338739769",
      "91.501356785"
    ],
    [
      "52.793848375",
      "32.011557671"
    ],
    [
      "140.648170598",
      "60.094598786"
    ],
    [
      "100.802853177",
      "27.293745897"
    ],
    [
      "107.876620169",
      "97.857351367"
    ]
  ],
  "radius": "84.978191067"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 26
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "8.454024683",
      "114.313695512"
    ],
    [
      "114.794670247",
      "52.173158342"
    ],
    [
      "98.465207514",
      "125.469103916"
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    [
      "158.135758691",
      "117.498421104"
    ],
    [
      "6.729635920",
      "69.034483926"
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      "163.744996756",
      "79.296579904"
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    ],
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      "73.423185662",
      "8.872187690"
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      "134.801319391",
      "27.616693512"
    ],
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      "106.690714779",
      "61.794950018"
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      "86.176299211",
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      "47.990296539",
      "67.689644640"
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      "54.432518757"
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      "78.668326349",
      "129.987994308"
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      "78.797356687",
      "64.236378779"
    ],
    [
      "62.877163638",
      "97.636190954"
    ],
    [
      "113.088824861",
      "143.561103098"
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    [
      "40.680912189",
      "130.965933724"
    ],
    [
      "22.338739769",
      "91.501356785"
    ],
    [
      "52.793848375",
      "32.011557671"
    ],
    [
      "140.648170598",
      "60.094598786"
    ],
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      "100.802853177",
      "27.293745897"
    ],
    [
      "107.876620169",
      "97.857351367"
    ]
  ],
  "radius": "84.978191067"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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