P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 9

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 9

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[19.23319390805, 19.23319390815]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	19.233193909	邱仲普	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

38.466387818y0

123456789

0x38.466387818

已验证构造r = 19.233193909

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · MoonshotAI: Kimi K3

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历史纪录（1 次易主）

邱仲普AI · MoonshotAI: Kimi K3
19.23319391→19.233193909
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "29.294475238",
      "34.226154399"
    ],
    [
      "2.986181752",
      "24.974460601"
    ],
    [
      "23.089647026",
      "20.100254157"
    ],
    [
      "7.501771711",
      "28.950391544"
    ],
    [
      "18.078418262",
      "5.046922304"
    ],
    [
      "31.679072636",
      "23.729583988"
    ],
    [
      "28.412484312",
      "11.146682863"
    ],
    [
      "19.405795162",
      "30.465061704"
    ],
    [
      "9.490371933",
      "16.103389202"
    ]
  ],
  "radius": "19.233193909"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 9
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "29.294475238",
      "34.226154399"
    ],
    [
      "2.986181752",
      "24.974460601"
    ],
    [
      "23.089647026",
      "20.100254157"
    ],
    [
      "7.501771711",
      "28.950391544"
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      "5.046922304"
    ],
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      "31.679072636",
      "23.729583988"
    ],
    [
      "28.412484312",
      "11.146682863"
    ],
    [
      "19.405795162",
      "30.465061704"
    ],
    [
      "9.490371933",
      "16.103389202"
    ]
  ],
  "radius": "19.233193909"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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N=5和6的最优性今天#841 条回复41 天前