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P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 41

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 41
目标最小化 正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[293.13890092565, 293.13890092575]André Müller2025-12Packomania ↗
本站纪录293.138900928邱仲普纪录详情 ↓

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严格定义

  • 容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
  • 提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
  • 目标最小化容器正方形边长 side
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当前展示：本站纪录

293.138900928y0
0x293.138900928
已验证构造side = 293.138900928

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

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半径成等差的圆装入正方形 n = 41 的当前纪录构型，293.138900928
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

P13-n41-v1：在 1e-9 整数网格上对半径 1,2,…,41 的方形装箱做局部精修。起始边长 293.138900952，候选边长 293.138900928，减少 24 个网格单位。固定半径，对圆心位移和公共边长缩减建立 MILP：保留每个圆的四条边界约束，对接近接触的圆对加入圆心差的一阶线性外推约束；位移上限依次为 2、10、100，使用 HiGHS 整数求解器、5 秒时限和零相对间隙。每轮仅接受完整整数验证后仍可行且边长严格缩短的证书；再以 1000、10000、100000 搜索，没有额外改进。 从起始证书按半径顺序施加的非零 [dx,dy]（单位 1e-9）：1:(-112,-112), 2:(-112,-112), 3:(-112,-112), 4:(-112,-112), 5:(-112,-112), 6:(-112,-112), 7:(-112,-112), 8:(-112,-112), 9:(17,-1), 10:(-1,-13), 11:(-32,-17), 12:(-4,7), 13:(-112,-112), 14:(-23,-10), 15:(3,-11), 16:(-20,-31), 17:(-8,-17), 18:(12,-2), 19:(-12,-14), 20:(-17,30), 21:(-16,-16), 22:(-3,-8), 23:(-9,-14), 24:(-69,43), 25:(-112,-112), 26:(-22,-8), 27:(-82,15), 28:(-11,-8), 29:(-17,-10), 30:(-9,-12), 31:(-19,-15), 32:(-22,-48), 33:(-13,-15), 34:(22,-45), 35:(16,-7), 36:(-14,33), 37:(0,-17), 38:(6,5), 39:(-4,-12), 40:(-17,-30), 41:(-4,-16)。最终用两套独立整数实现检查全部 164 条边界与 820 个圆对距离约束。结果是有限网格构造改进，不是连续最优性证明；其他接触组合仍可继续搜索。

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历史纪录（2 次易主）
  1. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    293.138900952→293.138900928
  2. NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    360→293.138900952
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "281.824677530",
      "112.462174265"
    ],
    [
      "286.698447562",
      "235.257013064"
    ],
    [
      "115.182644653",
      "128.503378263"
    ],
    [
      "201.196480553",
      "129.565160690"
    ],
    [
      "288.113156704",
      "288.113156702"
    ],
    [
      "6.030892847",
      "287.108007878"
    ],
    [
      "7.036041672",
      "137.474736717"
    ],
    [
      "150.204245951",
      "8.041190495"
    ],
    [
      "221.622736061",
      "9.000000000"
    ],
    [
      "10.000000000",
      "211.661377193"
    ],
    [
      "186.345742862",
      "135.911227841"
    ],
    [
      "88.943381521",
      "161.836974763"
    ],
    [
      "100.445903466",
      "78.503023700"
    ],
    [
      "279.138900928",
      "175.004698105"
    ],
    [
      "159.755504533",
      "212.189973333"
    ],
    [
      "249.185311682",
      "176.672778231"
    ],
    [
      "17.000000000",
      "66.448312887"
    ],
    [
      "67.666721747",
      "18.000000000"
    ],
    [
      "118.042750600",
      "151.149284676"
    ],
    [
      "273.138900928",
      "90.298981477"
    ],
    [
      "210.191619125",
      "272.138900928"
    ],
    [
      "270.569304356",
      "209.969852396"
    ],
    [
      "102.441923544",
      "270.138900928"
    ],
    [
      "216.705763619",
      "153.325852145"
    ],
    [
      "25.018123143",
      "25.025784866"
    ],
    [
      "26.726376317",
      "108.333842662"
    ],
    [
      "264.873425213",
      "136.566485313"
    ],
    [
      "61.912200343",
      "63.638640245"
    ],
    [
      "162.873898340",
      "168.300616763"
    ],
    [
      "81.868703744",
      "118.097229761"
    ],
    [
      "261.221022414",
      "262.138900928"
    ],
    [
      "221.516240617",
      "96.552056114"
    ],
    [
      "157.541832800",
      "260.138900928"
    ],
    [
      "117.133021422",
      "34.033876527"
    ],
    [
      "186.126257362",
      "35.000000000"
    ],
    [
      "257.138900928",
      "36.633350017"
    ],
    [
      "211.718211877",
      "214.158994794"
    ],
    [
      "106.883581145",
      "208.507621191"
    ],
    [
      "39.000000000",
      "172.164541876"
    ],
    [
      "149.625589888",
      "100.518709343"
    ],
    [
      "41.025313413",
      "252.138900927"
    ]
  ],
  "side": "293.138900928"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 41
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "281.824677530",
      "112.462174265"
    ],
    [
      "286.698447562",
      "235.257013064"
    ],
    [
      "115.182644653",
      "128.503378263"
    ],
    [
      "201.196480553",
      "129.565160690"
    ],
    [
      "288.113156704",
      "288.113156702"
    ],
    [
      "6.030892847",
      "287.108007878"
    ],
    [
      "7.036041672",
      "137.474736717"
    ],
    [
      "150.204245951",
      "8.041190495"
    ],
    [
      "221.622736061",
      "9.000000000"
    ],
    [
      "10.000000000",
      "211.661377193"
    ],
    [
      "186.345742862",
      "135.911227841"
    ],
    [
      "88.943381521",
      "161.836974763"
    ],
    [
      "100.445903466",
      "78.503023700"
    ],
    [
      "279.138900928",
      "175.004698105"
    ],
    [
      "159.755504533",
      "212.189973333"
    ],
    [
      "249.185311682",
      "176.672778231"
    ],
    [
      "17.000000000",
      "66.448312887"
    ],
    [
      "67.666721747",
      "18.000000000"
    ],
    [
      "118.042750600",
      "151.149284676"
    ],
    [
      "273.138900928",
      "90.298981477"
    ],
    [
      "210.191619125",
      "272.138900928"
    ],
    [
      "270.569304356",
      "209.969852396"
    ],
    [
      "102.441923544",
      "270.138900928"
    ],
    [
      "216.705763619",
      "153.325852145"
    ],
    [
      "25.018123143",
      "25.025784866"
    ],
    [
      "26.726376317",
      "108.333842662"
    ],
    [
      "264.873425213",
      "136.566485313"
    ],
    [
      "61.912200343",
      "63.638640245"
    ],
    [
      "162.873898340",
      "168.300616763"
    ],
    [
      "81.868703744",
      "118.097229761"
    ],
    [
      "261.221022414",
      "262.138900928"
    ],
    [
      "221.516240617",
      "96.552056114"
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    [
      "157.541832800",
      "260.138900928"
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    ],
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    ],
    [
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      "214.158994794"
    ],
    [
      "106.883581145",
      "208.507621191"
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      "39.000000000",
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    [
      "149.625589888",
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    ],
    [
      "41.025313413",
      "252.138900927"
    ]
  ],
  "side": "293.138900928"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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