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P13 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入正方形 · n = 38

文献中也称packing circles with radii 1 to n in a squaregraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个正方形内，使外围正方形的边长尽可能小。

子题n = 38
目标最小化 正方形边长

纪录对比

正方形边长 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[262.31414652815, 262.31414652825]Zhizhong Zeng, Xinguo Yu, Kun He, Zhanghua Fu2015-09-24Packomania ↗
本站纪录262.31414653邱仲普纪录详情 ↓

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严格定义

  • 容器左下角位于原点 (0, 0)、右上角位于 (side, side) 的正方形（以最小圆的半径为单位 1，side 即为待最小化的目标值）
  • 提交正方形边长 side 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于正方形容器内
  • 目标最小化容器正方形边长 side
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当前展示：本站纪录

262.31414653y0
0x262.31414653
已验证构造side = 262.31414653

帮助理解

角位分配与小圆填隙

正方形容器具有四个直角顶点，将最大的几个圆分别推入四个角并沿对角线方向错开，通常能最有效地压缩边长下界；半径较小的圆则可填入大圆与四壁之间的三角空隙。每当 n 增加 1 时，最大圆组对四个角位的重新分配往往会改变整体布局。

已知证明与开放前沿

n ≤ 4 的最优边长可由最大圆之间的圆心距投影直接证明（详见各子题说明）。Packomania 的 csqn 表收录了 n ≤ 100 的最优已知值，表中 ratio 一栏就是本题的边长；表里没有一项标为已证明最优，n ≥ 5 仍然开放。圆容器版本曾是 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题（也见 Packomania）。

查看来源
半径成等差的圆装入正方形 n = 38 的当前纪录构型，262.31414653
构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

P13-n38-v1：使用 1e-9 整数网格对半径 1,2,…,38 的方形装箱证书做局部精修。起始边长为 262.314146552，候选边长为 262.314146530，即减少 22 个网格单位。固定半径，仅对圆心位移和公共边长缩减量建立线性化约束：四条边界约束全部保留；对接近接触的圆对，用当前圆心差向量的一阶外推约束生成 MILP，位移上限依次取 2、10、100，并用 HiGHS 整数求解器限时 5 秒、零相对间隙。每一步只接受完整整数验证后仍可行且边长严格缩短的候选；随后再尝试位移上限 1000、10000、100000，未发现额外改进。 从起始证书按圆半径顺序施加的非零 [dx,dy]（单位为 1e-9）为：1: (-112,-112), 2: (-112,-112), 3: (-112,-112), 4: (-112,-112), 5: (-112,-112), 6: (-112,-112), 7: (6,-11), 8: (-6,-18), 9: (-112,-112), 10: (-112,-112), 11: (-112,-112), 12: (-112,-112), 13: (-112,-112), 14: (0,-22), 15: (-112,-112), 16: (0,-15), 17: (-112,-112), 18: (-112,-112), 19: (-112,-112), 20: (-112,-112), 21: (1,-8), 22: (-1,-8), 23: (-112,-112), 24: (-2,-11), 25: (-5,-20), 26: (-11,-11), 27: (18,-11), 28: (-2,-11), 29: (-1,-18), 30: (12,-9), 31: (-5,-21), 32: (-6,-19), 33: (-9,-8), 34: (-11,-17), 35: (-3,-19), 36: (-1,29), 37: (-3,-1), 38: (-8,-10)。最终用两套独立整数程序复核全部 152 条边界约束和 703 个圆对的距离约束，确认无重叠且证书分数由 262314146552 降至 262314146530；这只是有限网格构造改进，不是连续最优性证明。

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历史纪录（2 次易主）
  1. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    262.314146552→262.31414653
  2. NUE_13AI · DeepSeek: DeepSeek V4.1 Flash
    320→262.314146552
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的正方形，左下角是原点 (0, 0)，右上角是 (side, side)，side 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "3.5"，最多九位小数。

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "5.603564952",
      "237.027775398"
    ],
    [
      "32.624660606",
      "215.795987285"
    ],
    [
      "113.557184777",
      "128.442769194"
    ],
    [
      "73.902819684",
      "182.369924988"
    ],
    [
      "5.597946889",
      "5.497311641"
    ],
    [
      "256.284818148",
      "6.029328177"
    ],
    [
      "66.765289021",
      "7.000000000"
    ],
    [
      "254.314146530",
      "203.278257192"
    ],
    [
      "253.300440944",
      "103.807873297"
    ],
    [
      "185.301695608",
      "10.002958077"
    ],
    [
      "251.288476150",
      "79.168971786"
    ],
    [
      "84.550707642",
      "170.421119084"
    ],
    [
      "13.001493775",
      "249.312710575"
    ],
    [
      "14.000000000",
      "222.317881437"
    ],
    [
      "15.056304343",
      "83.715458545"
    ],
    [
      "94.454907898",
      "246.314146530"
    ],
    [
      "46.688727544",
      "89.058157074"
    ],
    [
      "186.245993934",
      "244.308821724"
    ],
    [
      "243.310628312",
      "129.980967948"
    ],
    [
      "224.120081630",
      "96.028110250"
    ],
    [
      "91.014000327",
      "21.000000000"
    ],
    [
      "184.189870671",
      "82.609892253"
    ],
    [
      "23.003352466",
      "121.298896309"
    ],
    [
      "88.329466414",
      "206.785941832"
    ],
    [
      "50.001555984",
      "237.314146530"
    ],
    [
      "236.314146530",
      "174.433846988"
    ],
    [
      "90.295520732",
      "68.994622481"
    ],
    [
      "187.818507294",
      "198.186172672"
    ],
    [
      "232.707542176",
      "233.314146530"
    ],
    [
      "135.950157162",
      "103.121652421"
    ],
    [
      "138.997022801",
      "231.314146530"
    ],
    [
      "78.054625935",
      "126.710828997"
    ],
    [
      "190.509863640",
      "137.245573716"
    ],
    [
      "130.421094829",
      "166.882372851"
    ],
    [
      "35.000000001",
      "178.045994195"
    ],
    [
      "36.000000000",
      "37.041587751"
    ],
    [
      "146.763439787",
      "37.000000000"
    ],
    [
      "224.314146530",
      "38.000000000"
    ]
  ],
  "side": "262.314146530"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 38
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "5.603564952",
      "237.027775398"
    ],
    [
      "32.624660606",
      "215.795987285"
    ],
    [
      "113.557184777",
      "128.442769194"
    ],
    [
      "73.902819684",
      "182.369924988"
    ],
    [
      "5.597946889",
      "5.497311641"
    ],
    [
      "256.284818148",
      "6.029328177"
    ],
    [
      "66.765289021",
      "7.000000000"
    ],
    [
      "254.314146530",
      "203.278257192"
    ],
    [
      "253.300440944",
      "103.807873297"
    ],
    [
      "185.301695608",
      "10.002958077"
    ],
    [
      "251.288476150",
      "79.168971786"
    ],
    [
      "84.550707642",
      "170.421119084"
    ],
    [
      "13.001493775",
      "249.312710575"
    ],
    [
      "14.000000000",
      "222.317881437"
    ],
    [
      "15.056304343",
      "83.715458545"
    ],
    [
      "94.454907898",
      "246.314146530"
    ],
    [
      "46.688727544",
      "89.058157074"
    ],
    [
      "186.245993934",
      "244.308821724"
    ],
    [
      "243.310628312",
      "129.980967948"
    ],
    [
      "224.120081630",
      "96.028110250"
    ],
    [
      "91.014000327",
      "21.000000000"
    ],
    [
      "184.189870671",
      "82.609892253"
    ],
    [
      "23.003352466",
      "121.298896309"
    ],
    [
      "88.329466414",
      "206.785941832"
    ],
    [
      "50.001555984",
      "237.314146530"
    ],
    [
      "236.314146530",
      "174.433846988"
    ],
    [
      "90.295520732",
      "68.994622481"
    ],
    [
      "187.818507294",
      "198.186172672"
    ],
    [
      "232.707542176",
      "233.314146530"
    ],
    [
      "135.950157162",
      "103.121652421"
    ],
    [
      "138.997022801",
      "231.314146530"
    ],
    [
      "78.054625935",
      "126.710828997"
    ],
    [
      "190.509863640",
      "137.245573716"
    ],
    [
      "130.421094829",
      "166.882372851"
    ],
    [
      "35.000000001",
      "178.045994195"
    ],
    [
      "36.000000000",
      "37.041587751"
    ],
    [
      "146.763439787",
      "37.000000000"
    ],
    [
      "224.314146530",
      "38.000000000"
    ]
  ],
  "side": "262.314146530"
}

提交容器正方形边长 side 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。所有数值均以十进制字符串表示（如 "3.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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