P84 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入圆盘 · n = 16

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入圆盘，允许接触但内部不能重叠，最小化容器圆半径。

子题n = 16

目标最小化容器圆半径

已知最好（未证明）1.687来源精度区间：1.687–1.688（区间内视为追平）本站展示证书 1.687452419Erich Friedman 编录；Found by Maurizio Morandi in April 2008. 原式：r = 1.687+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器圆半径 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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1.687452419

容器圆半径

已追平已知最好

答案来源Maurizio Morandi

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "0.894658075",
      "y": "1.744835028"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "0.598439905",
      "y": "1.573613752"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.400980178",
      "y": "1.574019288"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "0.598612795",
      "y": "1.231470653"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "1.401153068",
      "y": "1.231876189"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "0.999877508",
      "y": "1.242407488"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "0.302394625",
      "y": "1.060249377"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.697544128",
      "y": "1.060954367"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "1.000050398",
      "y": "0.900264390"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.296441458",
      "y": "0.729342568"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "0.302567516",
      "y": "0.718106278"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "1.697717019",
      "y": "0.718811269"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
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      "turn": "0.268220009",
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    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "0.704005118",
      "y": "0.386900015"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.000396179",
      "y": "0.215978193"
    }
  ],
  "radius": "0.342143140"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 16,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "0.894658075",
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    },
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      "turn": "-0.267678413",
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    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.400980178",
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    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "0.598612795",
      "y": "1.231470653"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "1.401153068",
      "y": "1.231876189"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "0.999877508",
      "y": "1.242407488"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "0.302394625",
      "y": "1.060249377"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.697544128",
      "y": "1.060954367"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "1.000050398",
      "y": "0.900264390"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
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    },
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      "y": "0.718106278"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
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      "y": "0.718811269"
    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
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    {
      "turn": "0.268220009",
      "x": "1.296614348",
      "y": "0.387199469"
    },
    {
      "turn": "0.268220009",
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    },
    {
      "turn": "-0.267678413",
      "x": "1.000396179",
      "y": "0.215978193"
    }
  ],
  "radius": "0.342143140"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

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