P84 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入圆盘 · n = 40

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入圆盘，允许接触但内部不能重叠，最小化容器圆半径。

子题n = 40

目标最小化容器圆半径

纪录对比

容器圆半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[2.55674, 2.55675)	Yanis Gomes2026-10	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘；公开得分按文献的单位边长图形规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标容器圆半径 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

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文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.002105389",
      "x": "0.984974908",
      "y": "1.796592872"
    },
    {
      "turn": "-0.574546492",
      "x": "0.759162783",
      "y": "1.795642023"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.323755526",
      "y": "1.782586425"
    },
    {
      "turn": "0.002154826",
      "x": "0.647041117",
      "y": "1.599607618"
    },
    {
      "turn": "-0.545690442",
      "x": "0.412790876",
      "y": "1.593462975"
    },
    {
      "turn": "-0.574546492",
      "x": "1.040980457",
      "y": "1.567857433"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.605575844",
      "y": "1.554778703"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.379763565",
      "y": "1.553865236"
    },
    {
      "turn": "0.002022859",
      "x": "0.928833127",
      "y": "1.371822805"
    },
    {
      "turn": "-0.574655093",
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    },
    {
      "turn": "-0.122842521",
      "x": "0.249456382",
      "y": "1.365522784"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.719273070",
      "y": "1.359676266"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.311526821",
      "y": "1.332752291"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.086238996",
      "y": "1.202191786"
    },
    {
      "turn": "-0.016121894",
      "x": "0.577137352",
      "y": "1.174907188"
    },
    {
      "turn": "0.424407431",
      "x": "0.311674402",
      "y": "1.148449207"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.651036326",
      "y": "1.138563321"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.425224046",
      "y": "1.137649854"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.974124519",
      "y": "1.006042858"
    },
    {
      "turn": "0.579656660",
      "x": "0.748311741",
      "y": "1.005262416"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.867777421",
      "y": "1.003510376"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.313108992",
      "y": "0.941633950"
    },
    {
      "turn": "0.001728463",
      "x": "0.148079511",
      "y": "0.930595138"
    },
    {
      "turn": "0.579656660",
      "x": "0.404960623",
      "y": "0.818821022"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.630798504",
      "y": "0.812338283"
    },
    {
      "turn": "0.579656660",
      "x": "1.087706791",
      "y": "0.810873476"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.755662367",
      "y": "0.807494472"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.529850088",
      "y": "0.806581005"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.292730116",
      "y": "0.622871199"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "0.744380776",
      "y": "0.617168901"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.970193554",
      "y": "0.617949343"
    },
    {
      "turn": "-0.099384886",
      "x": "1.342319717",
      "y": "0.571939120"
    },
    {
      "turn": "0.213986879",
      "x": "1.703445441",
      "y": "0.491851904"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "0.406312388",
      "y": "0.427701817"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.632150269",
      "y": "0.421219078"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "1.055437044",
      "y": "0.406287706"
    },
    {
      "turn": "0.452028062",
      "x": "1.414526773",
      "y": "0.357980804"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "0.717393759",
      "y": "0.209557441"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.943206537",
      "y": "0.210337883"
    },
    {
      "turn": "-0.099384886",
      "x": "1.277485586",
      "y": "0.177776353"
    }
  ],
  "radius": "0.225814126"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 40,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.002105389",
      "x": "0.984974908",
      "y": "1.796592872"
    },
    {
      "turn": "-0.574546492",
      "x": "0.759162783",
      "y": "1.795642023"
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      "turn": "0.002022616",
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    },
    {
      "turn": "0.002154826",
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    {
      "turn": "-0.574546492",
      "x": "1.040980457",
      "y": "1.567857433"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
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    },
    {
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    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
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    },
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      "y": "1.332752291"
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    {
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      "y": "1.148449207"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.651036326",
      "y": "1.138563321"
    },
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      "turn": "-0.574656593",
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      "y": "1.137649854"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.974124519",
      "y": "1.006042858"
    },
    {
      "turn": "0.579656660",
      "x": "0.748311741",
      "y": "1.005262416"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
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      "y": "1.003510376"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.313108992",
      "y": "0.941633950"
    },
    {
      "turn": "0.001728463",
      "x": "0.148079511",
      "y": "0.930595138"
    },
    {
      "turn": "0.579656660",
      "x": "0.404960623",
      "y": "0.818821022"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.630798504",
      "y": "0.812338283"
    },
    {
      "turn": "0.579656660",
      "x": "1.087706791",
      "y": "0.810873476"
    },
    {
      "turn": "0.002022616",
      "x": "1.755662367",
      "y": "0.807494472"
    },
    {
      "turn": "-0.574656593",
      "x": "1.529850088",
      "y": "0.806581005"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.292730116",
      "y": "0.622871199"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "0.744380776",
      "y": "0.617168901"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.970193554",
      "y": "0.617949343"
    },
    {
      "turn": "-0.099384886",
      "x": "1.342319717",
      "y": "0.571939120"
    },
    {
      "turn": "0.213986879",
      "x": "1.703445441",
      "y": "0.491851904"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "0.406312388",
      "y": "0.427701817"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.632150269",
      "y": "0.421219078"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "1.055437044",
      "y": "0.406287706"
    },
    {
      "turn": "0.452028062",
      "x": "1.414526773",
      "y": "0.357980804"
    },
    {
      "turn": "-0.575048476",
      "x": "0.717393759",
      "y": "0.209557441"
    },
    {
      "turn": "0.001728067",
      "x": "0.943206537",
      "y": "0.210337883"
    },
    {
      "turn": "-0.099384886",
      "x": "1.277485586",
      "y": "0.177776353"
    }
  ],
  "radius": "0.225814126"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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