P84 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入圆盘 · n = 34

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入圆盘，允许接触但内部不能重叠，最小化容器圆半径。

子题n = 34

目标最小化容器圆半径

纪录对比

容器圆半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[2.37504, 2.37505)	Thomas Schadt	Erich Friedman ↗
本站纪录	暂无选手纪录	—	—

严格定义

容器编辑器与证书将容器统一归一化为圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘；公开得分按文献的单位边长图形规范折算。允许接触边界。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个全等图形完全位于容器内，任意两图形内部互不重叠。多边形允许任意角度独立旋转。
精度输入的十进制小数按精确有理数解析，正多边形顶点由精确代数数定义，可行性检验不设浮点容差。
目标容器圆半径 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜与文献纪录统一使用该单位并自动换算。

放大编辑并提交 ↗

当前展示：起步布局

已验证构造已验证构造

帮助理解

文献来源与坐标证书

文献目标值按原始发表精度换算，九位小数坐标证书单独存储并与文献目标对照展示。

查看来源

构型与历史

起步布局

查看构型、求解笔记与纪录历史。

挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。

ANSWER FORMAT

答案怎么写

圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.166948108",
      "y": "1.826557881"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.795376300",
      "y": "1.770031036"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.571082582",
      "y": "1.676301008"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.471459241",
      "y": "1.624551129"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.988695744",
      "y": "1.622651992"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.664778685",
      "y": "1.477172085"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.540108308",
      "y": "1.435191937"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.280824915",
      "y": "1.425191366"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.279756130",
      "y": "1.403001680"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.957721470",
      "y": "1.381542921"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.733427752",
      "y": "1.287812893"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.611799267",
      "y": "1.238889923"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.249850641",
      "y": "1.184082294"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.248781856",
      "y": "1.161892609"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.805118710",
      "y": "1.091510879"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.024488138",
      "y": "1.068162581"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.702453478",
      "y": "1.046703822"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.443170085",
      "y": "1.036703250"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.442101300",
      "y": "1.014513565"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.774144436",
      "y": "0.850401807"
    },
    {
      "turn": "0.097516661",
      "x": "0.160083974",
      "y": "0.834615666"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.993513864",
      "y": "0.827053510"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.411127026",
      "y": "0.773404494"
    },
    {
      "turn": "0.081086445",
      "x": "0.581745452",
      "y": "0.709595637"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.186833308",
      "y": "0.679674466"
    },
    {
      "turn": "-0.454258290",
      "x": "0.335778629",
      "y": "0.665315059"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.604446470",
      "y": "0.626025450"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.824698912",
      "y": "0.552267139"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.134531252",
      "y": "0.441305286"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.552144414",
      "y": "0.387656270"
    },
    {
      "turn": "0.473394652",
      "x": "0.457396572",
      "y": "0.337887904"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.793724638",
      "y": "0.311158068"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.327850696",
      "y": "0.293926242"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.987044082",
      "y": "0.163779024"
    }
  ],
  "radius": "0.243090496"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 34,
  "sides": 5
}

起步布局答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.166948108",
      "y": "1.826557881"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.795376300",
      "y": "1.770031036"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.571082582",
      "y": "1.676301008"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.471459241",
      "y": "1.624551129"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.988695744",
      "y": "1.622651992"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.664778685",
      "y": "1.477172085"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.540108308",
      "y": "1.435191937"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.280824915",
      "y": "1.425191366"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.279756130",
      "y": "1.403001680"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.957721470",
      "y": "1.381542921"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.733427752",
      "y": "1.287812893"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.611799267",
      "y": "1.238889923"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.249850641",
      "y": "1.184082294"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.248781856",
      "y": "1.161892609"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.805118710",
      "y": "1.091510879"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.024488138",
      "y": "1.068162581"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.702453478",
      "y": "1.046703822"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.443170085",
      "y": "1.036703250"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.442101300",
      "y": "1.014513565"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.774144436",
      "y": "0.850401807"
    },
    {
      "turn": "0.097516661",
      "x": "0.160083974",
      "y": "0.834615666"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.993513864",
      "y": "0.827053510"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.411127026",
      "y": "0.773404494"
    },
    {
      "turn": "0.081086445",
      "x": "0.581745452",
      "y": "0.709595637"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.186833308",
      "y": "0.679674466"
    },
    {
      "turn": "-0.454258290",
      "x": "0.335778629",
      "y": "0.665315059"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.604446470",
      "y": "0.626025450"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.824698912",
      "y": "0.552267139"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.134531252",
      "y": "0.441305286"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "1.552144414",
      "y": "0.387656270"
    },
    {
      "turn": "0.473394652",
      "x": "0.457396572",
      "y": "0.337887904"
    },
    {
      "turn": "0.200541705",
      "x": "0.793724638",
      "y": "0.311158068"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "1.327850696",
      "y": "0.293926242"
    },
    {
      "turn": "-0.337707806",
      "x": "0.987044082",
      "y": "0.163779024"
    }
  ],
  "radius": "0.243090496"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数值均为最多九位小数的十进制字符串。x、y 为中心坐标；圆的 turn 固定为 0，多边形的 turn = tan(θ/2)。坐标与 turn 的范围限于 [−4, 4]，且 0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

欢迎交流解题思路、分享构造方法或探讨卡壳之处。所有登录用户均可发帖；发言使用与排行榜一致的公开署名，并附带唯一注册编号（#UID）以防冒名。新发言经审核后公开。

暂无讨论，欢迎发表第一篇帖子。