P84 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入圆盘 · n = 18

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入圆盘，允许接触但内部不能重叠，最小化容器圆半径。

子题n = 18

目标最小化容器圆半径

已知最好（未证明）1.80176来源精度区间：1.80176–1.80177（区间内视为追平）本站展示证书 1.801764491Erich Friedman 编录；Found by Jake Loyd in June 2026. 原式：r = 1.80176+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器圆半径 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

1.801764491

容器圆半径

已追平已知最好

答案来源Jake Loyd

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.892481897",
      "y": "1.781708168"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.194971408",
      "y": "1.675975725"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.503984897",
      "y": "1.496256245"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.465869932",
      "y": "1.401183990"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.806474407",
      "y": "1.390523802"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.261173159",
      "y": "1.287158866"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.697423068",
      "y": "1.092509968"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.101652326",
      "y": "1.087537922"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.568628227",
      "y": "1.019296631"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.858840588",
      "y": "0.878440543"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.325816490",
      "y": "0.810199252"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.757100842",
      "y": "0.777680145"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
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    },
    {
      "turn": "0.371235163",
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    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.409773658",
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    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.417162631",
      "y": "0.435839931"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.712263168",
      "y": "0.361442841"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.174350893",
      "y": "0.226742552"
    }
  ],
  "radius": "0.320436035"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 18,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.892481897",
      "y": "1.781708168"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.194971408",
      "y": "1.675975725"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.503984897",
      "y": "1.496256245"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.465869932",
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    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.806474407",
      "y": "1.390523802"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.261173159",
      "y": "1.287158866"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.697423068",
      "y": "1.092509968"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.101652326",
      "y": "1.087537922"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.568628227",
      "y": "1.019296631"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.858840588",
      "y": "0.878440543"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.325816490",
      "y": "0.810199252"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.757100842",
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    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.357484857",
      "y": "0.750669753"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.955074906",
      "y": "0.570540220"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "0.409773658",
      "y": "0.467175284"
    },
    {
      "turn": "0.371235163",
      "x": "1.417162631",
      "y": "0.435839931"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "0.712263168",
      "y": "0.361442841"
    },
    {
      "turn": "-0.169735282",
      "x": "1.174350893",
      "y": "0.226742552"
    }
  ],
  "radius": "0.320436035"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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