P84 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

等边三角形装入圆盘 · n = 19

把 n 个边长为 1 的等边三角形装入圆盘，允许接触但内部不能重叠，最小化容器圆半径。

子题n = 19

目标最小化容器圆半径

已知最好（未证明）1.825来源精度区间：1.825–1.826（区间内视为追平）本站展示证书 1.825741865Erich Friedman 编录；Found by Haym Hirsh in August 2019. 原式：r = √(10/3) = 1.825+。

严格定义

容器编辑器及证书统一缩放到圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘；仅是坐标约定，分数按文献的单位图形计算。边界接触允许。
提交提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。
约束恰好 n 个同样大的图形，完整位于容器内，任意两图形内部不重叠。多边形可独立旋转，不限直角。
精度输入小数精确表示有理数；正多边形的顶点用代数数定义，不截断成小数。可行性验算没有浮点容差。有限小数证书不等于连续最优性证明。
目标容器圆半径 = 1/(2 sin(π/3) r)，越小越好。页面、排行榜和外部纪录使用相同单位，自动计算，无需手工换算。

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已验证构造已验证构造

帮助理解

外部来源与证书

外部目标按原始印刷精度换算，本站坐标证书另存。复现损失不降低文献目标；源表的构造不自动视为最优性证明。

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当前第一名

1.825741865

容器圆半径

已追平已知最好

答案来源Haym Hirsh

解题方式公开参考构造

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ANSWER FORMAT

答案怎么写

圆心 (1,1)、半径 1 的闭圆盘

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.042657193",
      "y": "1.790553783"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.316460312",
      "y": "1.632339206"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.610608340",
      "y": "1.590232272"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.336688938",
      "y": "1.432219104"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.884411458",
      "y": "1.432017695"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.705968255",
      "y": "1.358334678"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.316344028",
      "y": "1.316111461"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.568067430",
      "y": "1.115906234"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.705851972",
      "y": "1.042106934"
    },
    {
      "turn": "-0.577595442",
      "x": "1.000000000",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.294148028",
      "y": "0.957893066"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.431932570",
      "y": "0.884093766"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.683655972",
      "y": "0.683888539"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.294031745",
      "y": "0.641665322"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.663311062",
      "y": "0.567780896"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.115588542",
      "y": "0.567982305"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.389391660",
      "y": "0.409767728"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.683539688",
      "y": "0.367660794"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.957342807",
      "y": "0.209446217"
    }
  ],
  "radius": "0.316227765"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 19,
  "sides": 5
}

当前第一名的答案

{
  "placements": [
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.042657193",
      "y": "1.790553783"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.316460312",
      "y": "1.632339206"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.610608340",
      "y": "1.590232272"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.336688938",
      "y": "1.432219104"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.884411458",
      "y": "1.432017695"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.705968255",
      "y": "1.358334678"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.316344028",
      "y": "1.316111461"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.568067430",
      "y": "1.115906234"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.705851972",
      "y": "1.042106934"
    },
    {
      "turn": "-0.577595442",
      "x": "1.000000000",
      "y": "1.000000000"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.294148028",
      "y": "0.957893066"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.431932570",
      "y": "0.884093766"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.683655972",
      "y": "0.683888539"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.294031745",
      "y": "0.641665322"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.663311062",
      "y": "0.567780896"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "1.115588542",
      "y": "0.567982305"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "1.389391660",
      "y": "0.409767728"
    },
    {
      "turn": "0.267752141",
      "x": "0.683539688",
      "y": "0.367660794"
    },
    {
      "turn": "-0.268146263",
      "x": "0.957342807",
      "y": "0.209446217"
    }
  ],
  "radius": "0.316227765"
}

提交 {radius, placements:[{x,y,turn},…]}，每个数用最多九位小数的十进制字符串。x、y 是中心坐标；圆的 turn 必须为 0，多边形 turn = tan(θ/2)。坐标和 turn 限于 ±4，0 < radius ≤ 4。 · 验证器 v1.0.0

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