P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 31

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 31

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[109.62924066105, 109.62924066115]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	109.629240663	邱仲普	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

219.258481326y0

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0x219.258481326

已验证构造r = 109.629240663

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从实时纪录证书出发，把目标容器半径先减小 10^-9。在 10^-9 整数网格上，为每个圆心枚举 [-2,2]×[-2,2] 的局部位置，先用精确圆容器约束过滤，再以最小剩余域回溯满足全部两两平方距离约束。得到的证书仅移动 12 个圆心，每个坐标移动不超过 2×10^-9，其余圆心保持不变；用两套独立整数验证器复核后，容器半径由 109.629240664 降到 109.629240663。直接只改半径会导致第 13 个圆越界；后续可从本证书扩大离散邻域并尝试再降一个整数单位。

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历史纪录（2 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
109.629240664→109.629240663
2026-09-11
游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
109.629240665→109.629240664
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "89.619229145",
      "102.386187512"
    ],
    [
      "99.980944556",
      "145.334442351"
    ],
    [
      "102.957231221",
      "149.352128119"
    ],
    [
      "112.556534233",
      "215.157257619"
    ],
    [
      "7.483281402",
      "132.287717022"
    ],
    [
      "177.80353567",
      "186.427537442"
    ],
    [
      "210.541148324",
      "128.29083038"
    ],
    [
      "137.012635716",
      "11.791772711"
    ],
    [
      "71.45416795",
      "16.522270464"
    ],
    [
      "127.429394837",
      "59.549506891"
    ],
    [
      "138.161416558",
      "133.023593432"
    ],
    [
      "62.2422739",
      "194.745236399"
    ],
    [
      "41.653116266",
      "178.305704339"
    ],
    [
      "128.60460793",
      "203.356969254"
    ],
    [
      "15.081268949",
      "113.550239663"
    ],
    [
      "156.029931577",
      "190.935868433"
    ],
    [
      "21.174281565",
      "82.135669838"
    ],
    [
      "190.114868148",
      "65.834474848"
    ],
    [
      "95.866539763",
      "199.207403889"
    ],
    [
      "198.996546586",
      "102.781948215"
    ],
    [
      "29.124391632",
      "146.69825175"
    ],
    [
      "106.308861123",
      "122.183619288"
    ],
    [
      "99.489404488",
      "77.124528168"
    ],
    [
      "125.145920483",
      "165.514698165"
    ],
    [
      "156.424419122",
      "39.114563835"
    ],
    [
      "75.566048297",
      "159.046601528"
    ],
    [
      "105.734431739",
      "27.51606483"
    ],
    [
      "58.516020776",
      "107.491975004"
    ],
    [
      "54.682877761",
      "50.621006885"
    ],
    [
      "149.825106317",
      "93.717210938"
    ],
    [
      "177.637382331",
      "149.093783661"
    ]
  ],
  "radius": "109.629240663"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 31
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "89.619229145",
      "102.386187512"
    ],
    [
      "99.980944556",
      "145.334442351"
    ],
    [
      "102.957231221",
      "149.352128119"
    ],
    [
      "112.556534233",
      "215.157257619"
    ],
    [
      "7.483281402",
      "132.287717022"
    ],
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      "177.80353567",
      "186.427537442"
    ],
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      "210.541148324",
      "128.29083038"
    ],
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      "137.012635716",
      "11.791772711"
    ],
    [
      "71.45416795",
      "16.522270464"
    ],
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      "127.429394837",
      "59.549506891"
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    [
      "138.161416558",
      "133.023593432"
    ],
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      "62.2422739",
      "194.745236399"
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      "41.653116266",
      "178.305704339"
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      "15.081268949",
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      "156.029931577",
      "190.935868433"
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      "21.174281565",
      "82.135669838"
    ],
    [
      "190.114868148",
      "65.834474848"
    ],
    [
      "95.866539763",
      "199.207403889"
    ],
    [
      "198.996546586",
      "102.781948215"
    ],
    [
      "29.124391632",
      "146.69825175"
    ],
    [
      "106.308861123",
      "122.183619288"
    ],
    [
      "99.489404488",
      "77.124528168"
    ],
    [
      "125.145920483",
      "165.514698165"
    ],
    [
      "156.424419122",
      "39.114563835"
    ],
    [
      "75.566048297",
      "159.046601528"
    ],
    [
      "105.734431739",
      "27.51606483"
    ],
    [
      "58.516020776",
      "107.491975004"
    ],
    [
      "54.682877761",
      "50.621006885"
    ],
    [
      "149.825106317",
      "93.717210938"
    ],
    [
      "177.637382331",
      "149.093783661"
    ]
  ],
  "radius": "109.629240663"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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