P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 32

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 32

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[114.79981466295, 114.79981466305]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	114.799814665	邱仲普	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

229.59962933y0

1234567891011121314151617181920212223242526272829303132

0x229.59962933

已验证构造r = 114.799814665

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从实时纪录证书出发，把容器半径先减小 10^-9。在 10^-9 整数网格上，为每个圆心枚举 [-2,2]×[-2,2] 的局部位置，以精确圆容器约束过滤候选，再用最小剩余域回溯满足所有两两平方距离约束。最终只移动 11 个圆心，每个坐标移动不超过 2×10^-9，其余保持不变；三套独立整数验证均通过，容器半径由 114.799814666 降至 114.799814665。直接只减小半径会产生边界违例；后续可从本证书扩大离散邻域并尝试 114.799814664。

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历史纪录（2 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
114.799814666→114.799814665
2026-09-11
游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
114.799814667→114.799814666
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "68.778866797",
      "206.312284618"
    ],
    [
      "204.939039376",
      "89.466909469"
    ],
    [
      "171.268482621",
      "73.192939537"
    ],
    [
      "117.221975107",
      "131.661065038"
    ],
    [
      "66.572004799",
      "211.912214994"
    ],
    [
      "6.433042935",
      "115.932819783"
    ],
    [
      "149.748677218",
      "216.203026737"
    ],
    [
      "83.454940657",
      "12.703295205"
    ],
    [
      "204.166142335",
      "171.432493057"
    ],
    [
      "32.936003532",
      "49.368036602"
    ],
    [
      "74.283943136",
      "72.923621169"
    ],
    [
      "209.920000332",
      "76.068572195"
    ],
    [
      "215.515658647",
      "100.434483708"
    ],
    [
      "27.765605659",
      "164.986088991"
    ],
    [
      "98.201940206",
      "62.728472906"
    ],
    [
      "18.402061057",
      "136.241955182"
    ],
    [
      "88.473734224",
      "208.989735766"
    ],
    [
      "156.686049337",
      "27.53156463"
    ],
    [
      "124.45624621",
      "210.111712241"
    ],
    [
      "182.619356899",
      "94.36871726"
    ],
    [
      "185.79067316",
      "53.491550611"
    ],
    [
      "56.348142932",
      "186.877603708"
    ],
    [
      "56.992457825",
      "141.882216629"
    ],
    [
      "65.343619714",
      "39.084729089"
    ],
    [
      "113.718527168",
      "25.86062516"
    ],
    [
      "200.885491383",
      "136.586584698"
    ],
    [
      "148.010127564",
      "126.168107898"
    ],
    [
      "140.30371626",
      "71.710682096"
    ],
    [
      "95.439982054",
      "106.870962999"
    ],
    [
      "105.184277222",
      "165.060727664"
    ],
    [
      "165.44967771",
      "181.484128098"
    ],
    [
      "35.406183525",
      "91.29533333"
    ]
  ],
  "radius": "114.799814665"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 32
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "68.778866797",
      "206.312284618"
    ],
    [
      "204.939039376",
      "89.466909469"
    ],
    [
      "171.268482621",
      "73.192939537"
    ],
    [
      "117.221975107",
      "131.661065038"
    ],
    [
      "66.572004799",
      "211.912214994"
    ],
    [
      "6.433042935",
      "115.932819783"
    ],
    [
      "149.748677218",
      "216.203026737"
    ],
    [
      "83.454940657",
      "12.703295205"
    ],
    [
      "204.166142335",
      "171.432493057"
    ],
    [
      "32.936003532",
      "49.368036602"
    ],
    [
      "74.283943136",
      "72.923621169"
    ],
    [
      "209.920000332",
      "76.068572195"
    ],
    [
      "215.515658647",
      "100.434483708"
    ],
    [
      "27.765605659",
      "164.986088991"
    ],
    [
      "98.201940206",
      "62.728472906"
    ],
    [
      "18.402061057",
      "136.241955182"
    ],
    [
      "88.473734224",
      "208.989735766"
    ],
    [
      "156.686049337",
      "27.53156463"
    ],
    [
      "124.45624621",
      "210.111712241"
    ],
    [
      "182.619356899",
      "94.36871726"
    ],
    [
      "185.79067316",
      "53.491550611"
    ],
    [
      "56.348142932",
      "186.877603708"
    ],
    [
      "56.992457825",
      "141.882216629"
    ],
    [
      "65.343619714",
      "39.084729089"
    ],
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      "113.718527168",
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      "200.885491383",
      "136.586584698"
    ],
    [
      "148.010127564",
      "126.168107898"
    ],
    [
      "140.30371626",
      "71.710682096"
    ],
    [
      "95.439982054",
      "106.870962999"
    ],
    [
      "105.184277222",
      "165.060727664"
    ],
    [
      "165.44967771",
      "181.484128098"
    ],
    [
      "35.406183525",
      "91.29533333"
    ]
  ],
  "radius": "114.799814665"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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