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P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 33

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 33
目标最小化 容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好
纪录数值 / 区间作者 / 持有人来源
外部已知最好[120.06565963825, 120.06565963835]见来源署名packomania.com ↗
本站纪录120.065659642邱仲普纪录详情 ↓

本站纪录尚未确认达到或超越此参考纪录。

严格定义

  • 容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
  • 提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
  • 约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
  • 目标最小化容器圆半径 radius
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当前展示：本站纪录

240.131319284y0
0x240.131319284
已验证构造r = 120.065659642

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

查看来源
半径成等差的圆装入圆 n = 33 的当前纪录构型，120.065659642
构型与历史

纪录详情

查看构型、求解笔记与纪录历史。

纪录保持者邱仲普
解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
挑战这个纪录 ↗提交证明 / 思路 ↓在讨论区分享最优性证明或关键界限思路，经审核采纳后可获证明分。
纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从当时纪录页公开证书（半径 120.065659643）出发，把全部数乘 10^9 转为整数，目标设为 120065659642。对每个圆心枚举 [-2,2]×[-2,2] 的整数坐标偏移，先以精确平方不等式过滤圆内约束，再用 MRV 回溯满足所有两圆不相交约束。最终仅移动 7 个圆心，任一坐标最多移动 2 个整数单位（2e-9）；专用渐增圆验证器、通用装箱验证器和独立几何审计均通过。固定原圆心直接缩半径不可行；后续可从本证书继续扩大局部邻域，或再次尝试目标值减 1。

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历史纪录（2 次易主）
  1. 邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    120.065659643→120.065659642
  2. 游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
    120.065659644→120.065659643
ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "221.794869471",
      "71.346296522"
    ],
    [
      "51.005766637",
      "209.797761822"
    ],
    [
      "30.388876375",
      "50.513965530"
    ],
    [
      "151.961821941",
      "10.546762996"
    ],
    [
      "233.536643933",
      "113.594646103"
    ],
    [
      "191.572166977",
      "31.214036788"
    ],
    [
      "101.010116313",
      "231.513986945"
    ],
    [
      "153.704521796",
      "226.963456738"
    ],
    [
      "89.001414263",
      "13.432675014"
    ],
    [
      "213.194214427",
      "178.730143924"
    ],
    [
      "109.138666171",
      "139.274359535"
    ],
    [
      "110.253711798",
      "62.260593011"
    ],
    [
      "15.447659182",
      "97.348142405"
    ],
    [
      "24.289373792",
      "165.189547982"
    ],
    [
      "27.028628502",
      "71.250665301"
    ],
    [
      "43.261652113",
      "190.285357335"
    ],
    [
      "183.975973915",
      "98.034762162"
    ],
    [
      "218.784136173",
      "94.141515116"
    ],
    [
      "166.459624727",
      "30.277756435"
    ],
    [
      "20.514556416",
      "129.993520081"
    ],
    [
      "125.906460771",
      "218.701023484"
    ],
    [
      "50.531884742",
      "99.826825754"
    ],
    [
      "196.234872418",
      "59.899279439"
    ],
    [
      "117.144384863",
      "173.747592544"
    ],
    [
      "80.847689410",
      "206.664911682"
    ],
    [
      "121.662118888",
      "26.013548335"
    ],
    [
      "147.845047245",
      "72.848598627"
    ],
    [
      "100.516739593",
      "101.057388914"
    ],
    [
      "208.532233502",
      "140.009788374"
    ],
    [
      "150.236095737",
      "130.923517303"
    ],
    [
      "67.520990412",
      "150.030115374"
    ],
    [
      "68.347134434",
      "48.850195042"
    ],
    [
      "171.735995959",
      "190.141371795"
    ]
  ],
  "radius": "120.065659642"
}
提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 33
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "221.794869471",
      "71.346296522"
    ],
    [
      "51.005766637",
      "209.797761822"
    ],
    [
      "30.388876375",
      "50.513965530"
    ],
    [
      "151.961821941",
      "10.546762996"
    ],
    [
      "233.536643933",
      "113.594646103"
    ],
    [
      "191.572166977",
      "31.214036788"
    ],
    [
      "101.010116313",
      "231.513986945"
    ],
    [
      "153.704521796",
      "226.963456738"
    ],
    [
      "89.001414263",
      "13.432675014"
    ],
    [
      "213.194214427",
      "178.730143924"
    ],
    [
      "109.138666171",
      "139.274359535"
    ],
    [
      "110.253711798",
      "62.260593011"
    ],
    [
      "15.447659182",
      "97.348142405"
    ],
    [
      "24.289373792",
      "165.189547982"
    ],
    [
      "27.028628502",
      "71.250665301"
    ],
    [
      "43.261652113",
      "190.285357335"
    ],
    [
      "183.975973915",
      "98.034762162"
    ],
    [
      "218.784136173",
      "94.141515116"
    ],
    [
      "166.459624727",
      "30.277756435"
    ],
    [
      "20.514556416",
      "129.993520081"
    ],
    [
      "125.906460771",
      "218.701023484"
    ],
    [
      "50.531884742",
      "99.826825754"
    ],
    [
      "196.234872418",
      "59.899279439"
    ],
    [
      "117.144384863",
      "173.747592544"
    ],
    [
      "80.847689410",
      "206.664911682"
    ],
    [
      "121.662118888",
      "26.013548335"
    ],
    [
      "147.845047245",
      "72.848598627"
    ],
    [
      "100.516739593",
      "101.057388914"
    ],
    [
      "208.532233502",
      "140.009788374"
    ],
    [
      "150.236095737",
      "130.923517303"
    ],
    [
      "67.520990412",
      "150.030115374"
    ],
    [
      "68.347134434",
      "48.850195042"
    ],
    [
      "171.735995959",
      "190.141371795"
    ]
  ],
  "radius": "120.065659642"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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