P06 · 装箱与覆盖 · 经典问题 · 难

半径成等差的圆装入圆 · n = 34

文献中也称packing circles with radii 1 to ngraduated circle packing

将半径分别为 1, 2, …, n 的 n 个圆互不重叠地放入一个圆内，使外围容器圆的半径尽可能小。

子题n = 34

目标最小化容器半径

纪录对比

容器半径 · 越小越好

纪录	数值 / 区间	作者 / 持有人	来源
外部已知最好	[125.36693920545, 125.36693920555]	见来源署名	packomania.com ↗
本站纪录	125.366939208	邱仲普	纪录详情 ↓

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严格定义

容器圆心位于 (radius, radius)、半径为 radius 的圆（以最小圆的半径为单位 1，radius 即为待最小化的目标值）
提交容器半径 radius 与圆心列表 centers（按半径 1, 2, …, n 依次排列）
约束第 i 个圆的半径恰好为 i；任意两圆内部不重叠；每个圆完全位于容器圆内
目标最小化容器圆半径 radius

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当前展示：本站纪录

250.733878416y0

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334

0x250.733878416

已验证构造r = 125.366939208

帮助理解

大圆定局与小圆填隙

半径最大的几个圆决定了容器半径的下界与主体骨架，而半径较小的圆可以填入大圆之间及靠近边界的空隙。每当 n 增加 1 时，新增的最大圆往往会改变大圆之间的接触关系，使整体排布发生重排。

已知证明与开放前沿

将半径为 1..n 的圆装入最小圆曾是 2005 年 Al Zimmermann 编程竞赛的赛题。本站已导入 Packomania 收录的 n = 1..200 公开已知最优构型；n ≥ 5 的最优性尚未给出数学证明，较大规模的子题合并为同一张数据表供算法挑战。

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构型与历史

纪录详情

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纪录保持者邱仲普

解题方式AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol

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纪录保持者的求解笔记公开方法与可复现线索（点击展开）＋

从当时纪录页公开证书（容器半径 125.366939209）出发，把全部数乘 10^9 转为整数，并把目标半径设为 125366939208。对每个圆心枚举 [-2,2]×[-2,2] 的整数坐标偏移，先用精确平方不等式过滤圆内约束，再以 MRV 回溯满足全部两圆不相交约束。得到的证书只移动 9 个圆心，任一坐标最多移动 2 个整数单位（2e-9）；专用渐增圆验证器、通用装箱验证器与独立几何审计均通过。半径下降后保持原圆心不可行；后续可从本证书继续尝试减 1，必要时扩大局部枚举邻域。

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历史纪录（2 次易主）

邱仲普AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
125.366939209→125.366939208
2026-09-11
游侠AI · OpenAI: GPT-5.6 Sol
125.36693921→125.366939209
2026-09-05

ANSWER FORMAT

答案怎么写

单位就是最小那个圆的半径：第 i 个圆的半径正好是 i。容器是你自己给出的圆，圆心在 (radius, radius)，所以坐标范围是 0 到 2·radius，radius 越小越好。坐标和半径用同一个单位，直接写成小数，例如 "7.5"，最多九位小数。

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "11.779198062",
      "88.706937460"
    ],
    [
      "5.447525581",
      "114.859055487"
    ],
    [
      "50.101725572",
      "216.749894240"
    ],
    [
      "203.663280166",
      "35.370637896"
    ],
    [
      "230.974783650",
      "182.896844939"
    ],
    [
      "237.812808095",
      "85.389798394"
    ],
    [
      "17.075290389",
      "172.911765365"
    ],
    [
      "51.303749023",
      "34.401984307"
    ],
    [
      "186.136130976",
      "224.605661785"
    ],
    [
      "12.260563073",
      "102.640779397"
    ],
    [
      "64.992664806",
      "156.440460922"
    ],
    [
      "238.186643246",
      "135.243124929"
    ],
    [
      "161.192724182",
      "18.867159169"
    ],
    [
      "185.311019571",
      "31.509055267"
    ],
    [
      "229.630754611",
      "161.288786415"
    ],
    [
      "233.158396586",
      "106.940868541"
    ],
    [
      "71.863514830",
      "219.604814253"
    ],
    [
      "105.101386036",
      "230.802047433"
    ],
    [
      "159.886095423",
      "92.756921500"
    ],
    [
      "157.979476663",
      "51.732476399"
    ],
    [
      "155.373536323",
      "170.309005954"
    ],
    [
      "81.296398076",
      "31.869788863"
    ],
    [
      "125.421560747",
      "23.003954819"
    ],
    [
      "45.697011570",
      "188.040370536"
    ],
    [
      "82.266550613",
      "124.855450724"
    ],
    [
      "133.104359095",
      "128.919590089"
    ],
    [
      "198.740760987",
      "190.882868619"
    ],
    [
      "149.562504271",
      "218.999440458"
    ],
    [
      "29.765769105",
      "137.491428771"
    ],
    [
      "203.966709801",
      "71.358336592"
    ],
    [
      "112.916638426",
      "75.614281401"
    ],
    [
      "192.249422331",
      "132.241053141"
    ],
    [
      "102.228732035",
      "179.881350354"
    ],
    [
      "47.928905776",
      "76.877058219"
    ]
  ],
  "radius": "125.366939208"
}

提交格式与技术细节需要编写程序或准备 JSON 答案时再查看＋

子题参数

{
  "n": 34
}

当前第一名的答案

{
  "centers": [
    [
      "11.779198062",
      "88.706937460"
    ],
    [
      "5.447525581",
      "114.859055487"
    ],
    [
      "50.101725572",
      "216.749894240"
    ],
    [
      "203.663280166",
      "35.370637896"
    ],
    [
      "230.974783650",
      "182.896844939"
    ],
    [
      "237.812808095",
      "85.389798394"
    ],
    [
      "17.075290389",
      "172.911765365"
    ],
    [
      "51.303749023",
      "34.401984307"
    ],
    [
      "186.136130976",
      "224.605661785"
    ],
    [
      "12.260563073",
      "102.640779397"
    ],
    [
      "64.992664806",
      "156.440460922"
    ],
    [
      "238.186643246",
      "135.243124929"
    ],
    [
      "161.192724182",
      "18.867159169"
    ],
    [
      "185.311019571",
      "31.509055267"
    ],
    [
      "229.630754611",
      "161.288786415"
    ],
    [
      "233.158396586",
      "106.940868541"
    ],
    [
      "71.863514830",
      "219.604814253"
    ],
    [
      "105.101386036",
      "230.802047433"
    ],
    [
      "159.886095423",
      "92.756921500"
    ],
    [
      "157.979476663",
      "51.732476399"
    ],
    [
      "155.373536323",
      "170.309005954"
    ],
    [
      "81.296398076",
      "31.869788863"
    ],
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      "125.421560747",
      "23.003954819"
    ],
    [
      "45.697011570",
      "188.040370536"
    ],
    [
      "82.266550613",
      "124.855450724"
    ],
    [
      "133.104359095",
      "128.919590089"
    ],
    [
      "198.740760987",
      "190.882868619"
    ],
    [
      "149.562504271",
      "218.999440458"
    ],
    [
      "29.765769105",
      "137.491428771"
    ],
    [
      "203.966709801",
      "71.358336592"
    ],
    [
      "112.916638426",
      "75.614281401"
    ],
    [
      "192.249422331",
      "132.241053141"
    ],
    [
      "102.228732035",
      "179.881350354"
    ],
    [
      "47.928905776",
      "76.877058219"
    ]
  ],
  "radius": "125.366939208"
}

提交容器圆半径 radius 与各圆圆心坐标 centers（按半径 1, 2, …, n 的顺序排列）。容器圆的圆心固定在 (radius, radius)。所有数值均以十进制字符串表示（如 "7.5"）。 · 验证器 v1.0.0

DISCUSSION

讨论区

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